2007浙江大学生高数竞赛真题(附答案)

《2007浙江大学生高数竞赛真题(附答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2007浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1．求解原积分==2．求解由洛比塔法则，原极限=而3．求p的值，使解：当取满足即时积分4．设，，且，求的表达式解：由条件单调增。且易知，若不然，不妨设则当时矛盾同理可让第7页共7页5．计算，其中S为圆柱面，（0z1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数原积分=二、（满分20）设求（1）（2）解：（1）（2）ACBDE三、（满分20分）有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且

2、B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。解：圆柱面为D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0）（1）C点坐标为（0，4，4）过C，E两点的直线方程为放转曲面方程第7页共7页（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为四、（满分20分）求函数在的最大值、最小值。解：在D的最大、最小值即为在的最大、最小值，而，即最大值为1，而即最小值为五、（满分15分）求解：k

3、且当时，，即，得证（非专业组）1．计算，（a>0，b>0）解：原积分==2.设幂级数的系数满足，，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数。解：则即，且解方程由3.已知二阶可导，且，，R（1）证明，R第7页共7页（2）若，证明R证明：（1）记则即⑵即4．求由洛比塔法则原极限=5．设，求解：6．，（）解：记原积分为I则7.设函数满足方程，，R，求的极值。解：由条件，第7页共7页有解方程得含得可能极值点k整数当时有极大值时极小值8.证明当时，证明令，则，要证不等式为＜，即要证＜，而且＜0，＞得证9．求解：原极限=10．设，求a，b的值。解：当（

4、时）即而11.设，求第7页共7页解：n≥212.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？2米1米解：取小圆的圆心为原点、水平线为x轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为：其中或盖住的面积为13.已知是[0，1]上二阶可导函数，且，，证明：使得。证明：＜1第7页共7页