2012年中考数学知识点几何应用题备考复习

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1、2012年中考数学知识点几何应用题备考复习九．几何应用题几何应用问题是近几年中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。一、三角形在实际问题中的应用例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠AB=90&rd;，A=80

2、米，B=60米。（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口的最短路线的长；（2）若线段D是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。1．E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到点的最短路线即为线段E。2．水渠D越短造价越低，当D垂直于AB时最短，此时造价最低。本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。解：

3、（1）由题意知，从入口E到出口的最短路线就是Rt△AB斜边上的中线E。在Rt△AB中，AB=（米）。∴E=AB=×100=0（米）。即从入口E到出口的最短路线的长为0米。（3）当D是Rt△AB斜边上的高时，D最短，从而水渠的造价最低。∵D•AB=A•B，∴D=米）。∴AD==64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为4810=480元。例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1米，面积为1平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，

4、图2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。分析：本题是一道利用相似三角形性质解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。解：由AB=1米，S△AB=1平方米，得B=2米设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△DE∽Rt△BA,∴，即，解得。如图，过点B作Rt△AB斜边A的高BH，交DE于P，并A于H。由AB＝1米，B＝2米，平方米，＝2米，BH＝12米。设乙加工的桌面边长为米，∵DE//A，Rt△BDE∽Rt△

5、BA，∴，即，解得。因为，即，，所以甲同学的加工方法符合要求。二、几何设计问题例3在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得∠＝90°，AB＝B＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△AB的边上，且扇形与△AB的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。分析：本题考察分类讨论，切线的性质以及作图能力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到所有情况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在

6、各顶点，然后排除相同情况。解：可以设计如下四种方案：例4小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相似三角形性质考虑。解：三、折线运动问题例如图，客轮沿折线A—B—从A出发经B再到匀速航行，货轮从A的中点D出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—上的某点E处．已知AB＝B＝200海里，∠AB＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍．(1)选择：两船相遇之

7、处E点在()．（A）线段AB上（B）线段B上（）可以在线段AB上，也可以在线段B上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理能力和几何运算能力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理判断，E点不可能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB<2DE，所以E点不可能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE解：（1）B（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里．过D作DF⊥B，垂足为F，连结DE．则

8、DE=x，AB+BE=2x．∵在等腰直角三角形AB中，AB＝B＝200，D是A中点，∴DF＝100，EF＝300－2x．在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝1002+(300－2x)2解之，得．∵＞200，∴DE=．答：货轮从出发到两船相遇共航行了海里．四、综合类几何应用例6