2012届高考数学备考复习:数列求和及综合应用

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1、2012届高考数学备考复习:数列求和及综合应用专题三:数列第二讲数列求和及综合应用【最新考纲透析】1.了解数列求和的基本方法。2.能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应问题。3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。【核心要点突破】要点考向1:可转化为等差、等比数列的求和问题考情聚焦:1.可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一。2.该类问题出题背景选择面广,易与函数方程、递推数列等知识综合,在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。考向链接:某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径有:1.凑

2、配、消项变换——如将递推公式(q、d为常数,q≠0,≠1)。通过凑配变成;或消常数转化为2.倒数变换—如将递推公式(、d为非零常数)取倒数得3.对数变换——如将递推公式取对数得4.换元变换——如将递推公式(q、d为非零常数,q≠1,d≠1)变换成,令,则转化为的形式。例1:(2010•福建高考科•T17)数列{}中=,前n项和满足-=(n)(I)求数列{}的通项公式以及前n项和;(II)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值。【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数方程思想、化归转化思想。【思路

3、点拨】第一步先求的通项,可知为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出;第二步利用等差中项列出方程求出t【规范解答】(I)由得,又,故,从而(II)由(I)从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得解得。【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式求数列的通项。题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地,含有的递推关系式,一般利用化“和”为“项”。要点考向2:错位相减法求和考情聚焦:1.错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等

4、式等知识综合,在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题。考向链接:几种求通项及求和方法(1)已知,求可用叠加法,即(2)已知,求可用叠乘法,即(3)设{}为等差数列,为等比数列,求数列的前n项和可用错位相减法。例2:(2010•海南宁夏高考•理科T17)设数列满足,(Ⅰ)求数列的通项公式:(Ⅱ)令,求数列的前n项和【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,在求数列的前n项和【规范解答】(Ⅰ)由已知,当时,而,满足上述公式

5、,所以的通项公式为(Ⅱ)由可知,①从而②①②得即【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和要点考向3:裂项相消法求和考情聚焦:1.裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法,是近年高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。考向链接:裂项求和的几种常见类型(1);(2);(3);(4);()若是公差为d的等差数列,则;(6);(7)(8)。例3:(2010•东高考理科•T18)已知等差数列满足:,,的前n项和为.(1)求及;(2)

6、令(nN*),求数列的前n项和.【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;(2)由(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有,解得,所以;==(2)由(1)知,所以bn===,所以==,即数列的前n项和=【方法技巧】数列求和的常用方法:1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比的讨论2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的

7、求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解4、裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同、倒序相加法:把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)要点考向4:与不等式有关的数列问题考情聚焦:1.数列综合问题,特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。2.

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