2012 代数--微分方程组和代数--偏微分方程组的几种新算法(phd)

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3、tyinpartialfulfillmentoftherequirementsforthedegreeofDoctorofPhilosophyMathematicalSciencesSchoolofMathematicalSciencesSupervisorProfessorYongzhongSongNanjingMay2012㈣6川3圳4⋯5Ⅲ7，iiii¨■■-洲2舢Y摘要摘要本文主要给出求解代数一微分方程组和代数一偏微分方程组的几种新的数值算法，其中包括：求解代数一微分方程组的两阶波形松弛方法，求解代数一线性偏微分方程组的Ka

4、nsa方法、Hermite配置方法、复二次拟插值方法和求解代数．拟线性偏微分方程组的局部径向基函数方法．20世纪末，Song研究了代数一微分方程组的波形松弛方法．为了使该方法适用于并行计算，我们将两阶波形松弛方法应用于求解代数一微分方程组的初值问题』Ay(t)+By(t)=，(t)，t∈[to，F]，＼∥(to)=Yo．定义两阶波形松弛方法的外迭代为：^“多(k+l’(￡)+^，，1y(k+l’(t)=Nly(七’(￡)+Ⅳ4雪(k’(￡)+．厂(￡)．其中A=A如一Ⅳ舢B=j厶一M，而每次迭代中的y(≈+1)(t)由基于分裂J厶=

5、且疋一％的内迭代得到．这样．利用0方法，即可得到代数一微分方程组的离散化两阶波形松弛方法．进一步，当且如为Hermitian半正定的矩阵时，我们可得到具有P一正则分裂的两阶波形松弛方法的收敛性定理和比较定理．考虑到代数一偏微分方程组的复杂性以及关于代数一偏微分方程组的数值方法较少，在第三章我们给出求解时间独立的代数一偏微分方程组的两类径向基函数方法：Kansa方法和Hermite配置方法．由数值实验，我们得到数值解对于不同形状参数C的敏感性分析．进一步，通过数值实例发现，方法中的配置点和形状参数C的可选性使得无网格方法应用于代数．偏

6、微分方程组时优于隐式的Crank．Nicolson有限差分方法，特别是对指标为2的代数．偏微分方程组(指标跳跃的代数一偏微分方程组)，优势更明显．为了更快找到最优的形状参数C，第四章主要应用复二次拟插值方法求解时间独立的代数一偏微分方程组，并进一步给出该方法的误差估计及形状参数C的敏感性分析．同时，我们利用选取恰当的配置点，在一定程度上解决了代数一偏微分方程组的指标跳跃问题．通过比较上述几种无网格方法配置矩阵的条件数．我们发现该方法的配置矩阵条件数较小．尽管复二次拟差值方法的形状参数C便于选取，但是精度不高．为了提高摘要精度，第五章

7、主要应用径向基函数一有限差方法求解代数一拟线性偏微分方程组．由数值实例知，该方法不仪精度高而且在‘定程度上可避免代数一偏微分方程组的指标跳跃带来的影响．另外，我们给出数值解对形状参数C的敏感性分析，并进一步利用该方法给出两个数学模型的数值解．数值模拟结果表明该方法在某些方面优于已知的算法，诸如比Kansa方法计算量小，比隐式的Crank．Nicolson有限差分方法精度高等．关键词：波形松弛方法；代数一微分方程组；代数一偏微分方程组；P．正则分裂；径向基函数；拟插值方法；拟线性．AbstractInthisdissertation，

8、weinvestigatesomenumericalmethodsforsolvingdifferential—algebraicequations(DAEs)andpartialdifferential-algebraicequat