Matlab求解微分方程组及偏微分方程组.doc

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1、Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一．相关函数、命令及简介1.在Matl

2、ab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数，D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富

3、的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.(2)odefun是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点上的解，则令tspan(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver.表1Matlab中文本文件

4、读写函数求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步算法：4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法：2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法：Adams算法；高低精度可达计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法：Gear’s反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法：2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比o

5、de15s短说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因

6、而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’,‘所有自变量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:Fofx=inline(‘x.^2*cos(a*x)-b’,‘x’,’a’,’b’);g=Fofx([pi/3pi/3.5],4,1)系统输出为：g=-1.5483-1.7259注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑

7、一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.二．实例介绍1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例例1求解微分方程程序：symsxy;y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)例2求微分方程在初始条件下的特解并画出解函数的图形.程序：symsxy;y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’);ezplot(y)例3求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.程序