特征理论偏微分方程组

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1、第7章特征理论偏微分方程组7.1.1弱间断解与弱间断面第7章特征理论偏微分方程组例子考虑弦振动方程则不是古典解，但它是弱间断解。第7章特征理论偏微分方程组7.1.2特征方程与特征曲面设光滑曲面是方程（7.1.1)的弱间断面。可以推出它应满足的条件为下式在上处处成立。第7章特征理论偏微分方程组方程特征曲面的例子第7章特征理论偏微分方程组7.2方程组的特征理论第7章特征理论偏微分方程组7.2.1弱间断解与特征线第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组7.2.2狭义双曲型方程组的标准型第7章特征

2、理论偏微分方程组将狭义双曲型方程化为标准型的方法：1.求向量方程的解。2.令，用T左乘（7.2.2）式得：第7章特征理论偏微分方程组3.第7章特征理论偏微分方程组7.3双曲型方程组的Cauchy问题首先指出，并非对一切类型的方程组都可以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程（7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的Cauchy问题。第7章特征理论偏微分方程组7.3.1解的存在性和唯一性第

3、7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组7.3.2解的稳定性第7章特征理论偏微分方程组7.4定理第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组7.4.2Cauchy问题的化简首先，把高阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶非线性C-K型组的Cauchy问题。其次，我们可以把一个一阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶拟线性C-K型组的Cauchy问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。Cauchy问题(7

4、.4.2)化为如下的一阶拟线性C-K型方程组的Cauchy问题:第7章特征理论偏微分方程组于是，C-K定理7.4.1可等价地叙述为C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。第7章特征理论偏微分方程组7.4.3强函数第7章特征理论偏微分方程组7.4.4C-K定理的证明（1）唯一性（幂级数解法）。（2）存在性（强函数方法）。附注1该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。附注2由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初始平面

5、上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把这些解粘合在一起，就得到的一个领域中的解析解。附注3C-K定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上依赖与解析性假设。