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《闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布 (4)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布孟雨孟雨物理工程学院11级物理学类三班Email:1240123245@qq.com摘要：文章主要采用毕奥萨伐尔定律，通过对闭合载流圆线圈周围磁感应强度分布的求解，得到了求解该同类问题的方法。并采用类似方法，求解了任意闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布，运用此结果又计算了有限长螺线管周围任一点的磁感应强度。一、闭合圆线圈周围磁感应强度右图为空间中一闭合圆线圈，半径为R。不妨假设载流线圈中的电流I沿顺时针方向，易知曲线方程：x2+y2=R2y=0现计算该载流回路在空间任一点P(x0,y0,z0)处产生的磁感应强度。在载流回路上任一微元，其与x轴正方向夹角
2、为θ，如上图所示。其位置坐标（Rcosθ,0,Rsinθ）。则P点到该微元的距离r=Rcosθ-x2+y2+Rsinθ-z2.源点到场点的单位方向矢量er=1r*(x-Rcosθ,0,z-Rsinθ)由B=μo4п*IdL×err2得B=Iμo4п*el×err2*dL其中el×er=1r*ijk-sinθ0cosθx-Rcosθyz-Rsinθ=1r*(-y*cosθ,x*cosθ+z*sinθ-R,-y*sinθ)由Rθ=L得：dL=Rdθ故(1#)BX=μ04π02πIR-ycosθr3*dθBY=μ04π02πIRR-xcosθ-zsinθr3BZ=μ04π02πIR-ysinθr
3、3*dθ*dθ现对上结果进行分析:①垂直环面且过其中心的直线上的磁感应强度令x=0,y=ro,z=0,则r=R2+r02BX=μ0IR4π02π-r0cosθr3dθ=0BY=μ0IR4π02πRdθr3=-IR2μ02r3BZ=μ0IR4π02π-sinθdθr3=0①无穷远处的磁感应强度分布对于无穷远处某点P(x0,y0,zo),则有R0=x02+y02+z02≫R故1r3=1(Rcosθ-x2+y2+(Rsinθ-z)2)3/2=(R02+R2-2R(xcosθ+zsinθ))-3/2=R0-3（1+R2R02-2RR02(xcosθ+zsinθ)）-3/2≈R0-3(1+3RR02
4、(xcosθ+zsinθ))则式（1#）即BX=-IRμ0y4πR0302πcosθ+3RR0-2xcos2θ+3RR0-2zsinθcosθdθ=-3Iμ0R2xy4R05BY=IRμ04πR0302πxcosθ+zsinθ-R*1+3RR02xcosθ+zsinθdθ=Iμ0R24R05(3x2+3z2-2R02)BZ=-IRμ0y4πR0302πsinθ+3RR0-2sin2θ+3RR0-2sinθcosθ=-3Iμ0R2yz4R05同样，若令x=0,z=0,y=r0,，则Bx=0;By=-Iμ0R22r03;Bz=0对于①中结果By=-Iμ0R22*1(R2+r02)3/2,若有r
5、0≫R，则By≈-Iμ0R22r03一、空间任意闭合曲线周围磁感应强度的分布对于空间曲线x=x(t)y=y(t)z=z(t),其中0≤t≤π现计算对空间任一点P(x0,y0,z0)的磁感应强度。对于空间曲线上一电流元（x(t),y(t),z(t)）,其方向矢量L=x't,y't,z't，该微元到P点的距离r=(x-xt)2+(y-y(t))2+(z-z(t))2。由该电流元到P点的单位方向矢量er=1r(x0-xt,y0-yt,z0-z(t))现定义∆=x'(t)2+y'(t)2+z'(t)2，则沿电流元方向的单位矢量eL=1∆(x't,y't,z'(t)),又dL=x'(t)2+y'(t
6、)2+z'(t)2dt=∆dt，故B=μ04πIdL×err2=Iμ04π(eL×er)r2dL其中eL×er=1∆r*ijkx'(t)y'(t)z'(t)x-x(t)y-y(t)z-z(t)则（2#）Bx=Iμ04π02πy'tz0-zt-x't(y0-y(t))r3dtBy=Iμ04π02πz'tx0-xt-x't(z0-z(t))r3BY=Iμ04π02πx'y-yt-y'(x-x(t))r3dt对于无穷远处P（x0,y0,z0）,则R0=x02+y02+z02≫x2t+y2t+z2(t)故1r3=R02+x2t+y2t+z2t-2*x*xt+y*yt+z*zt-32≈R0-3*(1
7、+3RO2*(x*xt+y*yt+z*z(t)))将上式代入（2#）式中便可计算任意空间闭合曲线无穷远处的磁感应强度。一、现由（二）中结果直接计算有限长螺线管在空间任意一点的磁感应强度。设螺线管长度为L，线圈半径R。导线半径r,如右图所示，易知螺线管方程x=Rcosθy=rθпz=Rsinθ其中，-пL2r≤θ≤пθ2r则x'θ=-Rsinθ；y'θ=rп;z'θ=Rcosθ将上述结果代入（2#）式中，得(3#)Bx=I
