载流圆线圈周围磁场分布.docx

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1、载流圆线圈周围磁场分布孟雨孟雨物理工程学院11级物理学类三班Email:1240123245@qq.com摘要：本文第一次在直角坐标系中直接从磁感应强度的计算公式毕奥-萨伐尔定律出发，精确求解了圆电流空间任一点磁场分布。并通过数值模拟，给出了圆电流周围磁场的空间分布情况。关键词：载流圆线圈、椭圆积分、磁感应强度、数值模拟0.引言圆电流的磁场分布是电磁学中一个重要而典型的问题，不少学者进行求解此方面问题时一般采用矢势方法，而即使采用最为基本的毕奥-萨伐尔定律求解时，求解的也是简化后的磁场在固定平面内的分布，

2、而非整个三维空间内的分布。究其原因，在于积分的复杂性。即使求解磁场在平面内的分布，也涉及复杂的椭圆积分，因此对于磁场在三维空间任意处的分布，很多学者避而不答。本文仅采用最为基本的毕奥-萨伐尔定律，通过一系列变量替换直接在直角系给出了磁场分布的级数形式解。本文与已发文章《闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布》（物理学刊27期）、《一个重要公式在电磁学中的应用》（物理学刊29期）同属姊妹篇。第一篇文章提出了解决该问题的一般方法，并推广到任意形状的闭合载流线圈，同时作为例子计算了过垂直载流圆线圈环面中心直线上的

3、磁感应强度。第二篇文章是对第一篇文章的进一步探索，运用椭圆积分精确求解了载流圆线圈在其所在整个平面的强度分布情况。本文是前两篇文章的更深一步探索，最终精确求解了载流圆线圈在空间任意处的分布情况。通过这三篇文章，希望给大家带来的不仅仅是问题的答案，更为重要的是将作者一步步探索问题的过程呈献给大家，希望能给大家未来的学习和研究带来帮助。1.载流圆线圈磁感应强度这里直接引用文章中的结果：①其中2.积分公式求解分析式①中的积分不难发现，积分的困难就在于分母的复杂性。而分母可以表示为下面的形式：因此本文就先从最基本

4、的积分形式入手。令，引入新的参量，并满足，则作第二次变量替换，引入角度变量、数值变量，并作替换，则可得写成一般形式，即其中：对的进一步求解过程如下：②③以上两式相减，考虑到则由此得到故对比①式中出现的积分，引入参量并令则由其中：得到结果④令，则对①式整理，得到以下结果⑤以上②结果便是求解得到的载流圆线圈周围任意处空间磁感应强度分布，当然上式还不算是最终结果，因为式中所涉及的不完全椭圆积分的具体形式还没有确定，以下便是对其具体形式的求解。首先确定参数的取值范围由得且3.的计算⑥又由于从而得到故将上式带入到式

5、③中，得到⑦由于从而可以确定出⑧综上所述，④已是严格意义上的精确解。至此，载流圆线圈周围任意处空间磁感应强度分布已由④严格给出。4.结果分析虽然结果已由上文给出，但④式结果依然比较复杂，先对其进一步简化。考虑到则由⑥、⑦式并取幂级数首项，得又由式⑧得又故⑨5.数值模拟综合上式④、⑤、⑨，用软件进行数值模拟，相关取值如下：首先对⑤式中的进行数值模拟，由于目标函数是关于空间变量的三元函数，实际模拟时本文采用降维方法：固定其中一个空间变量，对目标函数进行三维模拟。并通过令变量取不同的数值进行多次模拟，比较结果的

6、差异，从而得到的空间分布。当分别取0,4,10,20时，磁场分量的分布如下列图所示。对⑤式中的进行数值模拟，当分别取0,4,10,20时，磁场分布如下列图所示：同理，磁场分布如下列图所示：参考文献：【1】赵凯华陈熙谋电磁学（第三版）[M].高等教育出版社2012:245【2】刘耀康导出圆电流的磁感应强度的简便方法[J]大学物理2007.26（7）【3】王竹溪郭敬仁.特殊函数概论[M].北京:北京大学出版社.2000:549【4】张之翔电磁学中几个简单问题里的椭圆积分[J].大学物理2002.21（4）【5

7、】孟雨闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布[J].物理学刊2012.27【6】孟雨一个重要公式在电磁学中的应用[J].物理学刊2012.29DistributionofmagneticfieldstrengthofelectricroundstringAbstract:Thearticlefirstlypreciselysolvesthequestionofdistributionofmagneticfieldstrengthofelectricroundstringineverywhereofthree

8、-dimensionalitydirectlybyBiot-Savart’slawinrectangularcoordinatesystem.Bynumericalsimulation,thearticlevisuallygivesthedistributionofmagneticfield.Keywords:electricroundstring;ellipseintegral;magneticfieldstrength;n