析理以词,解体用图

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1、刘徽所著的《九章算术注》中主张“析理以辞，解体用图”。这里所说的“辞”，就是指逻辑与逻辑理性的推理过程及表述；“图”是指图形及其直观性分析。刘徽在数学方面的成就可以概括为两个方面：一是清理古代数学体系，完善理论基础；二是推陈出新，取得了一批出色的数学成果。《九章算术》和《欧氏几何》在思维方法上有很大的不同。《九章》强调辩证思维，这里“悟”很重要，只有深入的“悟”，才有最后的“觉”。事物之间，虽然枝叶纷繁，必有主干支撑，一定要削枝强干，彼此类推。“析理以辞，解体用图”是刘徽常用的方法，也是中算的特色，

2、学者不仅要明“形数结合”之理，还要明“寓理于算”之理，把形象思维和逻辑思维结合起来。学数学不能满足于“懂了，会了”的要求，还要不断探索研究。现在开设的研究性课题就是为了发展这方面的能力。二）刘徽及其《九章算术注》的数学思想与方法1．极限的思想刘徽是世界上第一个在数学中运用极限思想的人。他在“割圆术”、“弧田术”、“开方术”、“阳马术”等中都用到了极限思想。“割圆术”是刘徽为“方田章”第23题的“圆田术”作注时引入的，用来求圆面积及推算圆周率。他用倍增圆内接正六边形的边数，以正3╳边形当时面积的极限来

3、定义圆的面积；他说：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂；若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。刘徽根据上述思想求出圆内接正192边形的面积，求得，他继续求到圆内接正3072边形的面积，求得圆周率。另外，刘徽还把“割圆术”用到求弓形的面积、棱锥的体积上。刘徽在数学上多次用极限思想处理问题，而且运用比较熟练，说明他已经对极限有了相当的认识，这是刘徽在数学上极其重要的成就，充分反映了他数学思想的先进。2

4、．数形结合的思想“出入相补原理”，又称“以盈补虚法”，是刘徽发展并系统化了的一种独特的数学方法，发展了古代的数形结合思想。用现代语言来说，就是指这样的一个明显事实：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系；立体的情形也是这样”。刘徽在“方田”章第26题注中，把等腰三角形田变换成等积的矩形田（直田），再利用“方田术”求面积。在“勾股术”注中，论述到：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各

5、从其类，因就其余不移动也；合成弓玄方之幂，开方除之，即弓玄也”。在“少广”章的开平方术中，把数的开平方归结为求一个已知面积的正方形的一边长。“出入相补原理”可以说贯穿在刘徽的整个《九章算术注》中，它反映了当时人们已具有较高的抽象概括能力，抽象概括出解决实际问题的一般原理，而这种一般原理又具有简明性和较强的直观性，用它能帮助人们把许多算法联系起来并得出更多的有效算法。“出入相补原理”的提出，反映了刘徽对中国古代传统的数学思想做了大的发展。3．辩证的思想刘徽主张对于具体问题具体分析，解决数学问题不应拘于

6、一法。例如《九章算术注》“均输”章第26题，他认为有两种解法，到底用哪种方法，刘徽认为“可随率宜也”。4．转化的思想刘徽用转化的思想指导运算中的化简工作，例如对于约分就明确地讲述了这一点。他注意到“分之为数，繁则难用”，因此要约分，而约分的结果数值不变；他说：“设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四，约而言之，则二分之一也；虽则异词，至于为数，亦同归尔”。在“衰分”章中，刘徽还讲了分数的同值变换问题，“一乘一除适足相消，故所分犹存”。5．逻辑推理的思想刘徽很注意数学推理的逻辑性，他对《九章算术》中

7、的所有数学概念都作了解释或逻辑定义，他还考虑了各问题间的逻辑关系。在“勾股”章中明确指出：这一章只所以一开始就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证，他认为有些问题不能只限于感性认识，必须从理性上加以认识。6．同一性的思想刘徽在《九章算术注》的序文中说：“事类相推，各有攸归，故条枝虽分而本同干者，知发其一端而已”。意思是有许多问题，表面上看不相同，但在理论上都是一致的，它们有共同的根源；在整个注解中，都贯穿了这种思

8、想，如在“勾股”章16题注中说：“言虽异矣，及其所以成法，实则同归矣”。7．直观性的思想刘徽也非常注意数学的直观性，他主张“析理以辞，解题用图”。理论与直观并用，只有这样，才能更好地使人理解数学内容，达到“庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣”的目的。因此他在数学研究中很注意使用图形、立体模型、剪纸和涂抹颜色。8．无限的思想刘徽超越前人、天才地将无限过程成功地运用于数学证明，特别是他的阳马术注展示了他所具有的非凡的高难技巧。刘徽在“阳马术”注中说“半之弥少，其余弥细