话说“幻方”和“七桥”问题

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1、话说“幻方”和“七桥问题”融水镇第二中学龚意会新教材人教版七年级数学课本中有一个《实验与探究》栏目，其中就有“幻方”和“七桥”的问题。课本的这种安排目的是使数学游戏化，增强学生学习数学的兴趣。下面就我学过的知识介绍给大家，与大家共同探讨。一.幻方幻方是组合数学里的一个问题，也是最古老和最流行的数学游戏之一。一个阶幻方是由整数1，2，3，…，按下述方式组成的方阵：该方阵每行上的整数的和，每列上的整数的和以及两条对角线中每条对角线上的整数的和都等于同一个数。这个整数就叫做该幻方的幻和。下面是3阶和4阶幻方的例子：和这两个

2、幻方的幻和分别是15和34。通常地，一个阶幻方中所有整数的和为这是一个算术级数的求和公式。由于一个阶幻方共有行，每一行都有一个幻和，因此我们得到关系。于是，任意两个都有相同的幻和，即其组合问题就是，确定那些能够组成阶幻方的的值，同时找出一般的构造方法。不难验证，不可能存在2阶幻方（其幻和应该是5）。但是，对于其他的，阶幻方能构造出来。存在着许多构造幻方的特殊方法。这里，我介绍delaLoubēre在17世纪发现的一种构造阶幻方的方法，其中是奇数。首先将1放在最上一行的中间。其后的整数沿着自左下至右上的这条对角线按照自

3、然顺序放置，但同时需作如下修正：⒈在到达顶行时，下一个整数要放在底行，所放位置就是把底行当作顶行上边一行时该数应该放置的位置；⒉当到达最右边的一列时，下一个整数要放在最左边的一列上，所放位置就是把最左边的一列当作最右边那列的右边的列时该数应该放的位置；⒊3当要放的位置上已经填好了整数，或上一个整数已经放在了幻方的右上角时，则当前要摆放的整数将放在紧挨上述位置的下方。下面用此方法构造5阶和7阶的幻方：当然，比如用—4，—3，—2，—1，0，1，2，3，4构造一个3阶幻方也是可以的（方法同上）。即：其幻和为0。至于构造偶

4、数阶的幻方，方法可以在RouseBall的书中找到，我就不作介绍了。幻方在3维情形下的推广也已经被研究。阶幻方体（magiccub）是以下述方式由整数1，2，3，…，构造成的一个的立方体阵列，其在下述每一条横线上的个元素的和都是相同的：1.平行于立方体一条边的直线；2.每个截面上的两条对角线；3.四条空间对角线。数叫做幻方体的幻和且其值为。不难证明，不存在2阶幻方体和3阶幻方体。下面用反证法证明3阶幻方体的不存在：设存在3阶幻方体。则该幻方体的幻和就是42。考虑任何一个横截面其上元素已如所示。由于该立方体是幻方，故若

5、：①+②+③-④-⑤，则有：，那么。但是，3是位于横截面的中心的，于是，就有7个横截面，他们的中心位置不同但又都必须是值14。可是值14只能占据一个位置，因此我们断言：不存在3阶幻方体。而4阶和5阶幻方体也是不存在的，但证明比较困难，我就不在这里作介绍了。至于8阶幻方体在Gardner的一篇文章中作了构造方法的介绍，大家可以自行去参考。一.七桥问题这是图论中的一个问题。1736年，欧拉在他发表的图论文章中解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。在东普鲁士，古老的哥尼斯堡城位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，城区的四个部分通过七座

6、桥连接起来，如下图（甲）所示。每到星期日，哥尼斯堡城的居民将会环城散步，由此提出这样一个问题：能否以一种方法环绕全城，使每座桥都被走过且只被走过一次。乙甲欧拉把哥尼斯堡地图画成了一个图论中定义的所谓的一般图（即在简单图的基础上允许有多重边，允许有环），如图（乙）所示。若设这个一般图为G，则上述问题就是要确定G中是否存在一条闭迹（一般图G中的一条迹后来称为欧拉迹，闭迹就是封闭的欧拉迹），使它包含G中所有的边。而由于一条边在迹中重复的次数不得超过它的重数，故容易发现，这条闭欧拉迹是不存在的。理由如下：假想我们真的漫步在一

7、般图中一条闭欧拉迹上的话，除了你第一次离开的那个顶点，也就是你起始的那个顶点外，你每次都进入一个顶点并离开它（而到一条新的边，也即你还未走过的边），当你漫游结束时，你回到了起始的那个顶点，但不再离开。这就意味着：关联于一个给定顶点的边是成对出现的，其中的一条用于进入该顶点，另一条则用于离开该顶点。如果关联于一个顶点的边能够成对出现的话，那也就意味着在每个顶点处边的数目必然是偶数。因此，我们得到了在一般图中存在闭欧拉迹的一个必要条件，即：每个顶点的度数是偶数。由于在哥尼斯堡七桥问题的一般图中，四个顶点的度数都是奇数，所

8、以该图中不存在闭欧拉迹。亦即，七桥问题是不可能问题。3