北美五大湖湖水污染模型.doc

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1、上海电机学院2011年“自强杯”数学建模竞赛题号B论文题目北美五大湖湖水污染模型姓名张竹胜廖鑫成陈倩倩院系BG0906BG1002BG1002学号091001130636101001010220101001010209联系方式13917168459188019069571580062254213摘要本文针对北美的五大湖污染问题，通过分析可以将问题分为4个部分：①建立模型描述这两个湖的污染情况:当把伊利湖看成单入单出的系统时，同时认为流进伊利湖的湖水所含的污染物浓度为定值，则由微分方程模型可以得到伊利湖污染情况的模型，同理得到安大略湖污染情况的模型。②如果流入

2、安大略湖的水有5/6是由伊利湖流入的，对它们的污染情况给出进一步的分析可以得到安大略湖污染情况模型为：。③假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了．把安大略湖净化到50%以及5%所需要的时间又可以分成四种情况，即考虑安大略湖一开始是否被污染和从伊利湖流入安大略湖的湖水是否含有污染物这两种可能：（ⅰ）当且时有当时，；当时，(ⅱ)当且时有；(ⅲ)当且时有；（ⅳ）当且时，此时讨论无意义。④使用这些数据建模进一步对伊利湖和安大略湖进行分析得，（Ⅰ）伊利湖：（ⅰ）当，，，（ⅱ）当且当时，；13当时，（ⅲ）当，即在此讨论无

3、意义（ⅳ）当，其中（Ⅱ）安大略湖：（ⅰ）当且时时，时，(ⅱ)当且时有当时有当时有（ⅲ)当且时有当时，（ⅳ）当且，这时讨论已无实际意义。131、问题的重述在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水．试建模描述这两个湖的污染情况．如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析．假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了．试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间．下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或

4、两个湖的污染给出进一步的分析．北美五大洲的观测数据：特征苏比利尔湖密执安湖伊利湖安大略湖长度/km宽度/nm面积/km2水面流域陆地总和最大深度/m平均深度/m水的体积/km3平均年降雨/mm平均流量/（升/秒）水的平均保存时间/年5602568236712483820720040614812221736206736018949018858015117845175860281844871787501264034.83859125665879384459601715886355507202.63098519684704489013224486163686366

5、268807.82、模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊之间的区别。只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响。因此可以把伊利湖看成是一个单流入、单流出的系统，把安大略湖看成是一个双流入、单流出的系统[1]。（2）流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关。13（1）参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。（2）湖水的体积保持定常，也就是说假设由降水等原因所引起的流入物增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵

6、消。不考虑湖水体积季节上的差异。（5）不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用。污染物除流出外不因腐烂、沉积或其他任何手段从湖中消失。图片2-1来自http://baike.baidu.com/image/7e7f7909a1af318f3ac763772.2符号说明根据假设（1）（2）（5），如果我们把湖泊看成水池，湖中的污染物看成是水池中的盐，那么湖水污染问题就简化为水池中含盐量模型[3]我们仍然令：：t时刻流入伊利湖湖水的流速；：t时刻从伊利湖流入安大略湖湖水的流速；：t时刻从非伊利湖流入安大略湖湖水的流速；：t时刻流入伊利湖湖水的污染物浓度；：t时刻从

7、伊利湖流入安大略湖水的污染物浓度；：t时刻从非伊利湖流入安大略湖湖水的污染物浓度；：t时刻伊利湖湖水中污染的浓度；：t时刻从安大略湖流出湖水的污染物浓度；：t时刻从伊利湖流出的水的流速；：t时刻从安大略湖流出的水的流速；：t时刻安大略湖湖水中的污染浓度；：伊利湖湖水的体积；：安大略湖湖水的体积。131、问题的分析不妨假设伊利湖是一个体积不变的水池，并假设流入伊利湖的流速等于伊利湖的流速。假设流入伊利湖的湖水是含有污染物的，而流出伊利湖的湖水也携带污染物。则伊利湖是一个有污染物注入，又有污染物排出的系统。根据污染物出入的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。

8、根据假设：流入安大略湖的水不仅来自伊利湖，而且来自非