湖水污染问题.doc

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1、湖水污染问题摘要湖泊为人类提供了丰富的水资源，但也越来越受到各种各样的污染。本文首先在扩散速度无限大即污水流入湖水中后迅速与净水融合的假设前提下，综合考虑了污水注入、流出时的速度和浓度，运用微分方程建立模型。问题一：我们分为两段时间进行考虑，第一部分即污染物发生泄漏到10:05得到控制之间的45分钟，我们在参与模型变量连续、充分光滑的假设前提下运用湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染的平衡原理建立微分方程模型。第二部分即在10:05之后事故得到控制，则此刻之后不会再有污水流入，我们根据污染物的改变量=-流出污染的平衡原理建立微分方程

2、模型。问题二：要解决湖水中污染物的浓度何时达到最大值，由分析可知在事故得到控制之前，即在10:05之前，湖水中污染物的浓度随时间不断的增加，在事故得到控制之后，随着污染物的流出，净水的注入湖中污染物的浓度会不断的下降，故在10:05时湖水中的污染物浓度达到最大值。问题三：湖水中污染物的浓度何时达到安全水平，即求污染物浓度p(t)小于0.05%的时间，我们可根据问题一所建立的微分模型求解。问题四：建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型，我们可以通过计算机模拟得到关键词：微分方程模型、平衡原理、扩散速度无限大一、问题的重述下图是一个容量为20

3、00的一个小湖的示意图(图一),通过小河A水以0.08的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午9:20，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于上午10：05事故得到控制，但数量不详的化学物质T已泻入湖中，初步估计T的数量在5至20之间。图一问题一：请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；问题二：估计湖水何时到达污染高峰；问题三：何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)；问题四：建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型；二、模型的假设1、不区分污染物只考虑

4、湖水中污染物的浓度，系统视为单流入单流出系统；2、污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关；3、参与模型变量连续、充分光滑；4、湖的容积不变即湖水体体积不变（不考虑渗漏、降水等因素）；5、忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化；三、符号说明W:倾倒在x处得污染物的总量()；v:污染物流入湖中的速率；u(t)：表示t时刻湖水的流入速度；u(t)：表示t时刻湖水的流出速度；p(t)：表示t时刻流入的污染物的浓度；p(t)：表示t时刻流出的污染物的浓度；p(t)：表示t时刻湖水中污染

5、物的浓度；V：表示湖水的体积；四、模型的建立与求解（一）问题一1.1.1问题分析：该问题要求湖水的污染程度随时间的变化，分析问题我们视此问题为单流入单流出系统（如图二所示），我们以秒(s)作为时间单位，在上午10：05事故得到控制前的(45*60)秒之即0

6、平衡原理，我们可得：V[p(t+Δt)-p(t)]=[u(t)*p(t)-u(t)*p(t)]*Δt两边同除以Δt，且取极限得：V*=u(t)*p(t)-u(t)*p(t)即：=（1）1）由模型假设2“污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关”，可知在t时刻湖水中污染物的浓度p(t)和t时刻流出的污染物的浓度p(t)相同，即p(t)=p(t)则(1)式变为:=（2）2)由题我们可知湖水的流入速度u(t)=湖水的流出速度u(t)=u=0.08，则：=（3）3）t时刻流入的污染物的浓度P(t)=v/u，

7、得：==-*p(t)（4）利用常微分方程中的常数变易法,求（4）式的线性齐次微分方程的通解得：=-*p即：=-*dt两边同时积分得：lnp=-*t+c,则：p=c*e(c、c是任意常数)利用常数变易法令：p(t)=c(t)*e（5）两边同时对t求导得：=(t)*e-*c(t)*e（6）4）由方程（4）和（6）可得：(t)*e-*c(t)*e=-*p(t)（7）即：(t)*e=(t)=*e积分得：c(t)=*e+c(其中c为任意常数)（8）5）由方程（5）和（8）可得：p(t)=(*e+c)*e=+c*e（9）在t=0时刻时，即上午9:2

8、0时，由于此时刻刚刚在X处发生事故，污染物还没有流入到湖水中，故此时湖水中污染物的浓度为0，即：p(0)=0;带入（9）得：c=-所以：p(t)=-*e（10）1.1.3模型求解：由matlab软件编写程序