数学建模 湖水污染问题

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1、湖水污染问题1121943刘烁1121940庄静1121946刘蔚[摘要]随着市场经济和现在工业的飞速发展。人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。湖水治理的工作是困难的，因为一般湖

2、水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。[关键字]湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以0.12m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器

3、倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁

4、水。用分钟作为时间t的单位。在0

5、20000)e7.22000dt+C]=e-7.22000t[（Z/120000）（2000/7.2）*e7.22000t+C]=Z/432+C*e-7.22000t又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1-e-7.22000t]求得以特解为：F（t）=Z/432[1-e-7.22000t]在0

6、.2（t-60）/2000；当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。F（60）e-7.2（t-60）/2000=0.05%.即e-7.2（t-60）/2000=1.1119/Z-7.2(t-60)/2000=ln(1.1119/Z)t=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60所以：D=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60Z取不同值时的浓度F（60）和时间D：Z/m3F（60）/m3D/min50.0022485477.670.0031479571.190.0040473640.9110.0049467696.6130.00584

7、61743.0150.0067455782.8170.0076499817.5190.0085443848.4200.008994862.7六.模型误差分析本文中由微分方程法建立数学模型，可以说思路较为清晰，逻辑性强。但由于在模型的假设过程中，我们认为水流速度不变，且污染物进入湖水后立即与湖水混合均匀，而这在实际中是很难实现的，因为污染物开始流入湖水时，数量比较小，向四周扩散速度较慢，以至于流入湖水中的浓度较小；随着污染物数量的增加，流入湖水的污染物逐渐增多，浓度变大，但不会以恒定的速度变化，流入湖水不可能立即混合