数学建模--湖水的自我净化问题

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1、湖水的自我净化问题摘要本题是一容积为的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为，建立求污染物浓度下降至原来的需要多长时间的数学模型问题。解决本问题需要用到微元法的思想，也就是在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程，求得污染物浓度下降至原来的所需时间为天。本模型涉及到解微分方程，所以模型的应用很广泛，可以应用到动态分析问题中，利用该模型可以解决大量实际生活和生产问题。关键词：微元法；

2、微分方程；动态分析；Matlab5一、问题重述1.1背景资料与条件有一容积为（单位：）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是（单位：）。试建立求污染物浓度下降至原来的需要多长时间的数学模型。1.2需要解决的问题在湖的容积为，湖水更新速率为的条件下，求污染终止后，污染物下降到原来的所需的时间。二、基本假设2.1模型的假设1)假设一：湖水保持体积不变。2)假设二：污染物始终均匀的分布在湖中。（假设合理性见背景资料与条件。）3)假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。（微元法思想）2.2本文引用数据、

3、资料均真实可靠。三、符号说明3.1模型的符号说明A:B:C:为污染源切断后湖水更新的时间(单位：天)。四、模型的建立与求解4.1模型的建立从开始到天内湖水含污染物改变量为：由于流入湖中的水没有污染物，所以天内更新流出污染物量为：利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量得：对求导得微分方程为：5,变换后可得：，然后利用Matlab中dsolve函数求解微分方程，代入求得时间。4.2模型的概述本题是利用微元法的思想，通过利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量列出等式，然后求导变成微分方程，接着通过Matlab中dsolve函数求解微分方程，最后通过

4、代入条件求得时间。4.3模型的运用与求解由对求导后得,再利用Matlab中dsolve函数求解此微分方程，Matlab运行后得，在Matlab中编写程序求解，代入条件求得结果，对湖水的自我净化过程作图（如图1）（程序见附录）。图1其中横坐标为时间（单位：天），纵坐标为关于的百分比。红色星号表示污染浓度降到原来的时的点。从图中可以看出湖水自我净化速率呈下降趋势。4.4模型的结果5将，代入得，保留一位小数后求得。即污染物浓度下降至原来的需要的时间为天。五、模型的分析5.15.1.假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的

5、且是合理的。污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。5.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。六、模型的检验由于实际数据不好求得，所以用模型计算求得的数据不好与实际数据进行比对，故也就计算不了误差大小。但本模型对所取得数据精度不同，产生的结果也就不同。根据模型的分析得本模型误差产生的原因主要是数据精度，其它因素影响很小，在本题中我所取的精度所得出的结果产生的误差在模

6、型估计和实际许可的范围之内。七、模型的推广由于我的模型利用的是微分方程，因为微分方程常用于动态分析，可以用于解决动态分析问题，所以我的模型可以应用的场合非常多。除了适用于本题湖水的自我净化问题这样的问题外，我还可以利用实时监测将模型应用到其它的模型中（如海洋石油泄漏、水污染等），对于无源模型（如切尔诺贝利核泄漏事故），我可以通过某一时刻的初值来做到今后每一时刻的实时预报，以降低风险，确保人员的安全。而且，这一模型甚至还可以用在社会活动中，比如公共场所的应急安全分析可以将大量人群套用成无源场的模型，从而为人员疏散和逃生提供指导。总而言之，只要是涉及到

7、动态分析的问题都可以引用本模型解决，所以本模型的应用很广泛也很有用。进一步说数学并不是枯燥无味的也不是简简单单的数字而已，数学可以通过数学建模解决很多实际生活和生产问题，所以说数学很重要，学好数学就更有必要了。八、模型的评价与优化8.1模型的评价本模型简单实用，可以解决大量动态分析问题，在实际生活和生产中有着重要作用，很多实际问题都要用到这个模型。模型的建立很简单，模型的求解也比较容易，但该模型的作用却很大。8.28.1.模型的优缺点分析8.2.1模型的优点利用微元法的思想建立模型，模型是一个微分方程，而微分方程是用来解决动态分析的，所以模型的应用

8、很广泛且很有意义。本模型可以应用到实时监测中，还可以应用到公共场所的应急安全分析。58.2.2模型的缺点由于实际结果不好求