待定系数法 习题训练

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1、待定系数法习题训练Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。A.,－2B.－，2C.,2D.－，－22.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。A.－297B.－252C.297D.2074.函数y＝a－bcos3x(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是______

2、_________。6.与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小题：

3、设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示范性题组：例1.已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】函数式变形为：(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：解得：或∴y

4、＝或者y＝此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有

5、解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。yB’xAFO’F’A’B【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则

6、BF’

7、＝a∴解得：∴所求椭圆方程是：＋＝1也可有垂直关系推证出等

8、腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：，更容易求出a、b的值。【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。（89年

9、全国高考题）【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3