3、则所求概率为P1=g1的面积G1的面积=0πlsinφdφaπ=2laπ三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。1.其他解法解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y2)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g
4、2，从而所求概率为P2=g2的面积G2的面积=14·l·2l·π2l·a=lπ4a解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使
5、z1+z2
6、≤2a。注意到z1，z2满足
7、z1-z2
8、≤2l，则在平面z1Oz2上确定了矩形区域G3中的子集g3(如图6所示)，因此，所求概率为P3=g3的面积G3的面积=(2l)222a·22l=l2a1.矛盾产生的原因三种解法得出三种完全不同的结果，直观上看，是由于它们所用
9、的随机变量不同，但本质上，则是由于它们选择的假设条件不同。解法一依据的假设：假设1针的中点到平行线的距离X和针与平行线的夹角∅所构成的二维随机向量(X,∅)服从G1上的均匀分布；解法二依据的假设：假设2针的中点到平行线的距离X和针与平行线上的投影长度Y构成的二维随机向量(X,Y)服从G2上的均匀分布；解法三依据的假设：假设3针的两个端点到平行线的距离Z1，Z2构成的二维随机向量(Z1,Z2)服从G3上的均匀分布。上述三种假设是不能同时成立的。这可由以下几个命题看出：命题1若随机向量(X,∅)服从[0
10、,a]×[0,π]上的均匀分布，则(1)随机向量(X,Y)=(X,2lcos∅)的分布密度函数为：P1x,y=1aπ·14l2-y2&x∈0,a,y∈[-2l,2l]0&其它(1)(2)随机向量(Z1,Z2)=(X+lsin∅,X-lsin∅)的分布函数为：P2z1,z2=1aπ·14l2-(z1-z2)2
11、z1-z2
12、≤2l,
13、z1+z2
14、<2a0&其它(2)命题2若随机向量(X,Y)服从[0,a]×[-2l,2l]上的均匀分布，则(1)随机向量(X,∅)=(X,arccosY2l)的分布密度函数
15、为：P3x,φ=sinφ2a&x∈0,a,y∈[0,φ]0&其它(3)(2)随机向量(Z1,Z2)=(X+l1-Y2l2,X-l1-Y2l2)的分布密度为：P4z1,z2=14la·z1-z24l2-(z1-z2)2
16、z1-z2
17、≤2l,
18、z1+z2
19、<2a0&其它(4)命题3若随机向量(Z1,Z2)服从区域G3:
20、z1-z2
21、≤2l,
22、z1+z2
23、<2a上的均匀分布，则(1)随机向量(X,∅)=(Z1+Z22,arcsinZ1-Z22l)的分布密度为：P5x,φ=cosφ4a&x∈-a,a,φ∈[
24、-π2,π2]0&其它(5)(2)随机向量(X,Y)=(Z1+Z22,4l2-(Z1-Z2)2)的分布密度为：P6x,y=18la·
25、y
26、4l2-y2&x∈-a,a,y∈[-2l,2l]0&其它(6)也就是说，在假设1成立时，随机向量(X,Y)和(Z1,Z2)已不再服从均匀分布，而是分别服从密度函数为(1)和(2)的分布；在假设2成立时，随机向量(X,∅)和(Z1,Z2)分别服从密度为(3)和(4)的分布；在假设3成立时，随机向量(X,∅)和(X,Y)分别服从密度为(
