综合实验三蒲丰投针问题实验

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1、综合实验三蒲丰投针问题实验一、实验目的1.掌握几何概型、熟悉MonteCarlo方法的基本思想；3．会用MATLAB实现简单的计算机模拟二、实验内容在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用MonteCarlo方法。下面通过例子简单介绍MonteCarlo方法的基本思想．MonteCarlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世

2、界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是：1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线，见图8.1(1)2)取一根长度为的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．由分析知针与平行线相交的充要条件是其中建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图8．l（2）．由几何概率知4）经统计实验估计出概率由(*)式即MonteCarlo方法的基本思想是首先

3、建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．问题：(1)经过n次试验后圆周率估计与的圆周之间的差的绝对值的规律是？其中n分别取100，1000，2000，5000，10000，20000，50000(2)参数l，d的不同选择，会对圆周率的估计有什么影响？可以选择d为l.5倍，

4、2倍，3倍，4倍，5倍，8倍，10倍，20倍，50倍三、实验要求写出实验步骤、结果显示及分析四、实验分析以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，以j表示针与此线间的交角．显然0≤x≤a/20≤j≤p　　针与平行线相交的充要条件是x≤lsin(j)/2　　因(x,j)在图(4)中下面的矩形中等可能地取点，可见针与平行线相交的概率p为图(4)正弦曲线线段与横轴围成的面积同图(4)中矩形面积的比．经计算得p=另一方面得到　如大量得投针实验，利用大数定理知：随着实验次数的增加，针与平行线相交的频率依概率收敛到概率p．那么在上式中以频率代替相

5、应的概率p，则可以获得圆周率p的近似值．下面的程序是用matlab语言编写的计算机模拟投针以计算p的近似值的程序．五、实验步骤1.编写MATLAB程序cleard=2l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)fori=1:nifx(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示:fren=0.3300pihat=3.0

6、303ans=0.1113以此类推：将n=1000，2000，5000，10000，20000，50000分别代入，可得：当n=1000时，fren=0.3240pihat=3.0864ans=0.0552当n=2000时，fren=0.3230pihat=3.0960ans=0.0456当n=5000时，fren=0.3204pihat=3.1211ans=0.0205当n=10000时，fren=0.3190pihat=3.1348ans=0.0068当n=20000时，fren=0.3172pihat=3.1521ans=0.

7、0105当n=50000时，fren=0.3177pihat=3.1478ans=0.00622.改变d的取值，分别为1.5，2，3，4，5，8，10，20，50倍仍用1中的程序：cleard=3l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)fori=1:nifx(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示：d为1.5

8、倍时fren=0.2300pihat=2.8986ans=0.2430d为2倍时fren=0.1700pihat=2.9412ans=0.2004d为3倍时fren=0.1100pihat=3.0303ans=0.1113d为4倍时f