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1、2010年第1期总第154期林区教学TeachingofForestryRegionNo.12010GeneralNo.154拉格朗日插值法在工程应用中的算法实现徐小丽(苏州工业职业技术学院,江苏苏州215104) 摘 要:“学以致用”是每一门学科都致力追求的境界,数学自然也不例外。可人们往往淹没于一堆高深的数学理论及烦琐的分析、论证之中,早已失去了数学的乐趣!特别是用数学来解决实际的问题更是感到无所适从。介绍拉格朗日插值法在现实分析中的应用,并通过C语言程序来实现这一数学分析法的自动化,为复杂的工程分析研究
2、提供了一条数学算法的捷径。关键词:插值法;拉格朗日多项式;算法实现;C语言中图分类号:O29 文献标志码:A 文章编号:1008-6714(2010)01-0017-03y1-y0 一、插值算法原理p(x)=y0+x1-x0(x-x0);由前式整理得:在科学研究和实际工程设计中,几乎所有的问题都可以用函数y=f(x)来表示其某种内在规律的数量关系。但p(x)=x-x1x0-x1y0+x-x0x1-x0y1;记:l0(x)=x-x1x0-x1,l1(x)理想化的函数关系在实际的工程应用中
3、是很难奢求的。=x-x0。由一次函数的性质有:对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验或观测得到y=f(x)在某区间[a,b]上的一系列点的函数值yi=f(xi),(i=0,1,2,…,n),即一张表(x,yi),(i=0,1,2,…,n)。根据给定的函数表构造一个既能反映函数f(x)的特性,又便于计算的简单函数p(x)来近似f(x),并使得p(xi)=f(xi),(i=0,1,2,…,n),这就是插值法。设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,x0,x1,…,xn是[a,b]上取定的n+1个
4、互异节点,且在这些点处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)为已知,即yi=f(x),(i=0,1,2,…,n)。若存在一个和f(x)近似的函数φ(x),满足x1-x0l(x0)=l(x1)=1,l0(x1)=l(x0)=0;l0(x)+l(x)=1其中l(x),l1(x)称为线性插值基函数。当n=2时即为抛物插值,这也是一种常用的代数插值。根据给定函数f(x)在三个互异节点x0,x1,x2的值f(x0),f(x1),f(x2),构造次数不超过二次的多项式P(x)=a2x2+a1x+a0,使满足二次插值条
5、件P(xi)=f(x),(i=0,1,2)。P(x)的参数直接由插值条件决定,并满足下面的代数方程组:2φ(xi)=f(xi),(i=0,1,2,…,n)(1-1)a0+a1x0+a2x0=y0则称φ(x)为f(x)的一个插值函数,点xi为插值节点,式(1-1)称为插值条件,区间[a,b]称为插值区间,而误差函数R(x)=f(x)-φ(x)称为插值余项。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的特点,故在工程实际应用中我们多选代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1
6、x+a0(1-2)满足p(xi)=f(xi),(i=0,1,2,…,n),则称P(x)为f(x)a0+a1x1+a2x21=y1a0+a1x2+a2x22=y2仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。求二次式l(x0)=1,l0(x1)=l(x2)=0。因x1,x2是l0(x)的两个零点,于是l(x)=c(x-x1)(x-x2),且l(x0)=1,确定系1数c=,从而导出l0(x)=(x0-x1)(x0-x2)(x-x1)(x-x2)的n次插值多项式。(x0-x1)(x0-x2)。同理,构造出满足条件l(x1)
7、=1, 二、拉格朗日插值多项式l(x0)=l(x2)=0的插值多项式l(x)=(x-x0)(x-x2)当n=1时即为线性插值,这也是代数插值最简单的(x1-x0)(x1-x2)以及满足条件l(x2)=1,l2(x0)=形式。根据给定函数f(x)在两个互异节点x0,x1的值f(x0),f(x1),用线性函数p(x)=ax+b来近似代替f(x)。l(x1)=0的插值多项式l(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)。这样由点斜式直线方程可得: 收稿日期:2009-11-26作者简介:徐
8、小丽(1978-),女,江苏苏州人,助教,硕士研究生,从事高等教育学研究。构造出来的l(x),l1(x),l2(x)称为抛物插值基函数,相应的有P(x)=l(x)y0+l(x)y1+l(x)y2当插值点增加到n+1个时,就可以通过n+1个不同的已知点[xi,yi=f(xi)]来构造一个次数为n的代数多项—17—式P(x)。类似抛物插值,先构造一个特殊的n次
