用解析法探求平四边形及其面积

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1、用解析法表示平行四边形方程及其面积Laoli63十七世纪笛卡尔创建了坐标系以来，数和形的结合得到了空前的发展，无论是直线还是曲线都实现了数与形的完美结合。平行四边形是一个常见的几何图形，本文给出它的方程及其解析面积公式，并对它的应用进行举例。定理1　方程在，不同时为零时⑴　该方程所表示的图形是平行四边形；⑵　方程，表示平行四边形的两条对角线所在直线的方程⑶　四个顶点由方程组及的解组成；⑷　设方程所在的对角线长分别是L1、L2，则该平行四边形的面积公式是；证　设方程所表示的直线分别为，显然其交点不满足方程　（※）ABCDX0y（※）式中令　则得，说明的在直线的两侧有平行且等距离于的两

2、平行直线，设交于点A、C，显然A、C的坐标是由方程组的解组成。同法可得B、D亦如此。故有，（如图1）图1而原方程是含有绝对值的二元一次方程，经脱绝对值后为二元一次方程—直线，且在直线划割的四个区域内，点A、B、C、D又满足原方程，故原方程表示的几何图形是平行四边形。易知直线与直线的距离为，所以面积，同法可得S＝3由上知结论⑴、⑵、⑶、⑷均成立。定理2　任何平行四边形都有方程其中分别为两条对角线的方程，且，A、B是两相邻顶点，证明　对于平行四边形来说两对角线是确定的，即有方程，问题是d存在唯一吗？D(p,0)C(m+p,n)B(m,n)OXY(A)图2不失一般性，设，顶点A（0,0）

3、，B（m，n），D（p，0），易知C（m+p，n）.所以对角线AC、BD所在直线方程分别是故有，说明d是存在且唯一的，故任何平行四边形都有以上形式的方程。推论1　平行四边形在时是矩形，且面积　（L1为对角线长）推论2　平行四边形，在时是菱形，且面积推论3　平行四边形当且时是正方形，面积　例1　求方程｜px+m

4、+

5、qy+n

6、=d(d>0)表示的图形及其面积解　由定理1知，该方程在pq≠0时表示中心在的菱形，故面积例2　求方程｜x+m

7、+

8、y+n

9、=d(d>0)表示的图形及其面积解　由上述定理可知该方程表示中心在（-m,-n）的正方形，面积S＝2d2.例3　求方程｜x-2y

10、+

11、x+

12、y-3

13、=6表示的图形及其面积解　由定理1知该方程表示的图形是平行四边形。先求顶点即A（6,3），C（－3,0）3∴对角线AC的长｜AC｜＝∴面积例4　求方程｜2x-y-2

14、＋｜x+2y＋1｜＝3表示的图形及其面积解　由方程得=5，且∴该方程表示的图形是正方形，面积　例5　求以点A（0,1），B（4,2），C（4,4），D（0,3）为顶点的四边形的方程及其面积解　易知四点构成平行四边形，求得对角线AC，BD的方程分别是，∴，对角线长L1＝｜AC｜＝5面积由上述不难看出，特殊图形平行四边形和其它一些特殊曲线一样，也存在着方程和解析面积公式，进而给解决一类平行四边形问题提供了简便的办法

15、。同时给平行四边形进行了进一步的探求和完善。3