用割补法求面积解析.doc

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1、在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。　　　　例1求下列各图中阴影部分的面积：　　　　　　分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三

2、角形OAB的面积之差。π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。　　　　（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。　　如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。　　　　　　例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。　　　　　　分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。　

3、　（1）割补法　　从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角　　　　　（2）拼补法　　将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。　　　　积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面　　　　　　（3）等分法　　将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，　　　　注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。　　　　例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长

4、5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。　　　　　　分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。　　　　例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。　　　分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三

5、角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。　　　　例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。　　　　　　分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。　　　　把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积

6、是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。　　练习22　　1.求下列各图中阴影部分的面积：　　（1）（2）　　2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。　　　　3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。　　　　4.在右上图中，

7、长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。　　5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。　　　　6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。　　五年级奥数专题二十一:用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，

8、从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。　　　　例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。　　　　　　分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形O