不等式解法及基本不等式

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1、学汇教育个性化发展中心XueHuiPersonalizedEducationDevelopmentCenter课题不等式解法及基本不等式教学内容一、知识梳理与例题解析（一）一元二次不等式问题一：如何解？思考方向：(1)确定一元二次不等式的解的关键是什么？(2)有根的前提下，两根之内还是两根之外由什么决定？解题策略：使a值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。例1、解下列不等式(1)2x2－5x－7＜0(2)－x2＋x＋12＜0(3)－x2＋2x＞1(4)x2＋2x＋3＞0思考1：若不等式2x2－ax＋b＞0的

2、解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。问题二：如何用？例2、解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。反思：(1)引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2)如何进行讨论？——不等式性质例3、解关于x的不等式：x2－(m＋2)x＋2m＜0。反思：(1)引起讨论的原因是什么？——m与2大小的不确定性(2)如何进行讨论？——比较大小例4、解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0反思：(1)引起讨论的原因是什么？如何进行讨论？第一层次：一次不等式还是二次不等式的不确定性，对m≠0与m＝0进行讨论第二层次：

3、x2前系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论例5、k为何值时，关于x的一元二次不等式x2＋(k－1)x＋4＞0的解集为(－∞，∞)？变式1：k为何值时，关于x的一元二次不等式(k＋1)x2－2x＋k＋1＞0的解集为(－∞，∞)？变式2：k为何值时，关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x＋2＞0的解集为(－∞，∞)？小结：(1)数学知识与技能：一元二次不等式组、含系数一元二次不等式的解法；不等式恒成立问题(2)数学思想：分类讨论、数形结合、

4、化归例6、k为何值时，关于x的不等式(k＋1)x2－2x＋(k＋1)＞0的解集为？知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家021-36061142学汇教育个性化发展中心XueHuiPersonalizedEducationDevelopmentCenter反思：(1)要对不等式的类型进行讨论，即对x2前系数进行讨论；(2)若是一元二次不等式，对应二次函数图象开口向下，与x轴最多有一个交点。（二）解绝对值不等式例3.（1）.（2）.（3）（1）.（2）.（3）.（4）.（5）

5、4x-3

6、>2x+1.（6）例5.解关于

7、的不等式（）例6.

8、x－4

9、＋

10、3－x

11、＜a总有解时，a的取值范围是例.已知(1)当时,求不等式组的解集;(2)当不等式组的解为空集时,求实数的取值范围。（三）解分式不等式1.解关于x的不等式＞1(a＞0)（1）.(2)(3)（4）（四）解无理不等式的解法（1）（2）知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家021-36061142学汇教育个性化发展中心XueHuiPersonalizedEducationDevelopmentCenter（3）例：解不等式⑴⑵解：⑴移项：∴∴∴原不等式的解集为⑵∴∴原不等式的解集为

12、{}例：解不等式解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}练习：解不等式例：解不等式解：原不等式等价于下列不等式组：∴∴原不等式的解集为{}练习：1.不等式的解集为_________2.（五）常用的基本不等式：（1）知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家021-36061142学汇教育个性化发展中心XueHuiPersonalizedEducationDevelopmentCenter（2），则即如果a,b是正数，那么我们称的算术平均数，称的几何平均数

13、.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。“当且仅当”的含义是充要条件。利用基本不等式求最值的条件：一正、二定，三相等（3）★（2）（3）（4）（5）中当且仅当a=b时取等号（4），最值定理:设（1）如积；（2）如积.【注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致】题型1当积为定值时,求和最小值例：y=(x>3)的最小值是___

14、______。例：已知且满足，求的最小值或已知，且，求的最小值。练习：1、已知x>0.y>0，且=1，求x+y的最小值。2、已知则的最小值为。3、已知，则的最大值是________。4、当时，求的最大值。知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家021-36061142学汇教育个性化发展中心Xue