含有一个奇因数的正整数的等差分拆

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1、万方数据第2l卷第5期(2005)河西学院学报VoI．21No．5(2005)含有一个奇因数的正整数的等差分拆郭育红摘要：正整数一的分拆是指将正整数万表示成一个或多个正整数的无序和．而等差分拆是一种有限制条件的分拆．在这方面的研究有一些结果(见文献14卜[61)，文章将文献【6l给出的一种形-如Nffi2"dm(2r+1)的条件拓宽了一些，仍得到类似的结果．并推出了文献15l中的一个结论．关键词：正整数；奇因数；等差分拆；分拆中图分类号：0157文献标识码：A文章编号：1672—0520(2005)05—00

2、15—021引言正整数的分拆问题是数论，组合数学研究的一个重要课题．正整数的分拆是指将正整数珂表示成若干个正整数之和．即n=玎l+玎2+⋯+m其中胁≥1，f=1,2，⋯，k．(1)，一般均讨论无序分拆，也就是说只有次序不同的分拆都看作是同一种分拆．正整数拧的分拆(1)中的每个开熬为分部量；k称为分部数．对分部数及分部量没有任何限制的n的不同的分拆的个数记为砌)；分部数为k的n的分拆数记为砌，D．对于m)及m，勋的研究有许多结果．可参考文献Il，2，3】．而对于分部量有限制的正整数的分拆的研究也引起了许多研究者

3、的兴趣：如连续分拆，奇偶分拆，等差分拆等等．一些结果见文献14，5，6】．本文在文【6J所给出形如Ⅳ=2kdm(2r+1)(其中整数露≥0，m为正奇数，么，为正整数)的等差分拆的基础上，将其条件拓宽了一些，将其中m为正奇数这一条件去掉，仍给出了类似的结论．并推出了文献【S】5中的一个结论．2主要结果定理1设正整数Ⅳ=加(2，+1)(其中磊舶，均为正整数)，则脯可以表示威以动公差的等差分拆．且(1)当，≥m时，Ⅳ可以表成以姗+1-m)为首项，d为公差的2m个正整数之和．(将两项的情形也称为等差分拆)．(2)当r

4、0,即，≥朋时．该表达式就是以d为公差的2m项等差之和．当r

5、(1)当，≥尉，Ⅳ可以表成以小(，+1一们为首项，m为公差的2扑正整数之和．(将两项的情形也成为等差分拆)．(2)当r

6、整数的等差分摒因子2，二卜1下的等差分拆．故有定理3正整数／：dm(2r-t-1)(其中么舶，均为正整数)，则Ⅳ存在与2，+1相应的r(din)个等差分拆．(其中(din)是加的所有因数个数)．当反m中有一个为1时，不妨设矗=1时，就有下面的推论．推论1正整数Ⅳ=咖l(2，+1)(其中鸸慨，均为正整数)必能分拆成连续正整数之和；且这种分拆个数为Ⅳ含有大于l的奇因数的个数．当正m中有一个为2时，仍然不妨设d=2时有下面推论垮’．推论2正整数Ⅳ=拥(2，+1)(其中厉慨，均为正整数)，若Ⅳ为偶数，则Ⅳ必能分拆成连

7、续偶数之和．且这种分拆数为M并含奇因数的个数．注：定理3中只给出了J7、7=在有奇因子2，+l下的等差分拆数，并不能就此洲所有奇数因子下的等差分拆求和而得绷所有等差分拆．例如：N--24=8×3．存在与3相应的等差分拆有4个：7+8+9；8+16：6+8+10：4+8+12．但是24有5+8+1l这个等差分拆并不包含在定理3中．3应用下面通过几个例子来说明上述结论的应用．例l：求出70的可能的等差分拆解：70=2×5×7，即70有三个奇数因子5，7，35．则(1)在奇数因子2，+1=5的情形下70=2×7×5

8、=l×14×5，故相应于5有4个等差分拆，分别是lO+12+14+16+18：7+14+2l+28：12+13+14+15+16：28+42．(2)在奇数因子2，+l=7的情形下，70=2×5×7=l×10×7；故相应于7的等差分拆有4个．分别是：4+6+8+10-t-12+14+16；10+15+20+25：7+8+9+10+11+12+13：30+40．(3)在奇数因子2，+1=35的情形下，7