2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（理）试题

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1、长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若，，则（）A．B．C．D．3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A．B．C．D．4.使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A．B．C.D．5.已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A．3个B．4个

2、C.5个D．6个6.在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）8A．B．C.D．7.定义运算，，例如，则函数的值域为（）A．B．C.D．8.若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A．B．C.D．9.已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A．B．C.D．10.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1B．2C.D．11.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A．1B．C.3D．012.设，则使得的的取值范围是（）A．B．C.D．13.已知函数，其中为函数的导数，则（）A.2B.2019

3、C.2018D.014.中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则()A.7B.8C.5D.6815.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16.《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17.对于，，规定，集合，则中的元素的个数为．1

4、8.已知平面向量，满足，，，则在方向上的投影是．19.已知函数，若正实数，满足，则的最小值是．20.已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线8相交于，两点，求的值.22.如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.23.已知函数（为自然对数的

5、底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.24.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性,并说明其实际意义.25.已知函数，（）.（1）求函数的单

6、调区间；（2）求证：当时，对任意，，总有成立.8试卷答案一、选择题1-5:BDCBB6-10:CDACC11-15：CBAAC二、填空题16.17.4118.19.20.三、解答题21.(1)∵曲线的极坐标方程，即，∴曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程，可得，整理得，∵，∴点在之间，∴.22.（1）∵，∴，∴.（2）在中，由余弦定理得，8解得或（舍）∵是的角平分线，∴，∴23.（1）当时，，由，解得；由解得，.∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是.（2）依题意：对于任意，不等式恒成立，即恒成立，即在上恒

7、成立，令，所以.当时，；当时，.∴函数在上单调递增；在上单调递减.所以函数在处取得极大值，即为在上的最大值.∴实数的取值范围是.所以对于任意，不等式恒成立的实数的取值范围是.24.（1）由题意知，当时，，即，解得或，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.8（2）当时，；当时，；∴；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少.25.（1）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：-11-0+0-↘↗

8、↘当时，当变化时，，的变化情况如下表：-11+0-0+↗↘↗8综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）由（1）可知，当