构造等腰三角形证题方法

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1、构造等腰三角形证题吴复等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。一.直接连线法例1.已知，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E。求证：∠C=∠D。图1证明：连结AC、AD因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED所以△ABC≌△AED所以∠1=∠2，AC=AD所以∠3=∠4即∠1+∠3=∠2+∠4所以∠C=∠D例2.已知，DE为△ABC的BC边上的中垂线，交AC于D，垂足为E。求证：AB

2、CE，DE⊥BC所以DB=DC因为AB

3、G=CG=k因为DH//AG所以所以所以说明：例3延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例4中应用了平行线分线段成比例的性质。三.延长和连结相结合法例5.已知在△ABC中，∠C=2∠B。求证：。图5证明：延长BC到D，使CD=AC，连结AD。因为∠1=2∠B，又因为∠1=2∠D，所以∠D=∠B所以AB=AD

4、腰三角形所以AC=AE所以△ABC为等腰三角形例7.已知△ABC中，AB=AC，AD为高，BE为角平分线，EG⊥BC于G，EF⊥BE交BC于F。求证：。图7证明：延长FE交BA延长线于H，取BH的中点M，连结EM并交AD于N。因为∠1=∠2，BE=BE，∠BEH=∠BEF=90°所以△BHE≌△BFE所以BH=BF，HE=FE又因为HM=BM所以EM//CB所以△AME∽△ABC又因为AB=AC，AD⊥BC所以AM=AE，AN⊥ME所以因为∠BEH=90°，BM=HM所以即因为四边形ENDG为矩形所以说明：例5中要解决如问题，构造顶角的外角为的等腰三角形，则可用“等腰三角形顶角的外

5、角等于一个底角的2倍”这一性质。例6利用两腰相等证之。例7用的知识点较多，关键在于“三线合一”定理的应用。四.作平行线法例8.已知△ABC中，过BC中点D作直线交AB于E，交CA延长线于F，且AE=AF。求证：BE=CF。证明：过点C作CG//AB，交FD延长线于G。图8因为∠G=∠2，∠3=∠B，DB=CD所以△CGD≌△BED所以CG=BE因为AE=AF所以∠1=∠F所以∠G=∠1=∠F所以CG=CF所以BE=CF例9.已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为AD、BC的中点，BA、CD的延长线分别与FE的延长线交于G、H。求证：∠BGF=∠CHF。图9证明：连结BD，作

6、EK//AB交BD于K，连结KF。在△DAB中，E为AD中点，EK//AB所以K为BD中点，所以同理因为AB=CD所以∠1=∠2即∠3=∠4所以∠BGF=∠CHF说明：作平行线构成等腰三角形的腰和底。五.作垂线法例10.已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC。求证：△ABC是直角三角形。图10证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。因为DE⊥AB，AE=BE所以AD=BD所以∠2=∠A因为∠ABC=2∠A所以∠1=∠2因为AB=2BC所以BE=BC所以△EDB≌△CDB所以∠C=∠3=Rt∠所以△ABC是直角三角形说明：作三角形一边的中垂线，构造成等腰三角形

7、的两腰。六.作截线法例11.已知△ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=DC。求证：∠B=2∠C。图11证明：在DC上截取DE=BD，连结AE。因为AD⊥BE，ED=BD所以AD为BE的中垂线所以AB=AE，∠1=∠B因为AB+BD=DC，EC+ED=DC所以AB=EC所以AE=EC所以∠1=2∠C即∠B=2∠C说明：若图形中有垂线，则把垂线看作为等腰三角形底边上的高，用截取的方法构造等腰三角形的腰和底。