巧用圆锥曲线定义解有关最值问题

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1、广东石油化工学院高州师范学院毕业论文巧用圆锥曲线定义解有关最值问题广东石油化工学院高州师范学院309数学（4）班李国晓【摘要】圆锥曲线涉及到两大定义，圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的第二定义。巧用圆锥曲线的定义,通过具体实例说明求最值的一些方法,如果能很好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。【关键词】圆锥曲线最值目标函数圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题,它处于代数与几何的交汇处。如果能很好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。圆锥曲线作为高考必考内容,当一道题目涉及到线段距离、圆锥曲线位置关系等等,而且

2、又与焦点有关时，我们通常可考虑利用定义来求解。利用圆锥曲线定义求解的基本特点是解题思路比较简单,规律性较强。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的,由此可对一些距离进行有效的转化,因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时,应先想到利用定义进行求解,这样会有事半功倍之效。下面谈谈如何巧用圆锥曲线的定义来求最值问题。一、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用圆锥曲线的第一定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求

3、解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准线有关的问题，从第一定义入手，就很容易解决问题，下面举例说明圆锥曲线中常见的最值问题。圆锥曲线第一定义在求最值的一般形式：的最值。其中，在曲线（椭圆、双曲线、抛物线）内一定点（异于焦点），是曲线上的一个动点，是曲线的一个焦点。1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用椭圆第一定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数的动点的轨迹叫椭圆，即。—7—广东石油化工学院高州师范学院毕业论文例1：椭圆上一点到两个焦点距离之积为，求的最大值，并求出当取得最大值时点的坐标。分析：此题求

4、点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。解：设椭圆的左右焦点分别为、,,,当且仅当时取等号，此时点为短轴的端点。所以的坐标为（0，3）或（0，-3）时，的最大值为25。当圆锥曲线中的最值问题涉及到圆锥曲线的焦点时，可以考虑应用圆锥曲线的定义解题。此题是动点到两焦点距离之积，从而联系了第一定义：动点到两定点距离之和等于定值2a。再结合不等式性质，把目标函数转化为容易求解的函数，从而问题得解。例2：已知椭圆内有一点（2，1），为椭圆的左焦点，是椭圆上动点，求的最大值与最小值。分析：目标函数,考虑用普通方法比较难解，

5、则我们可作适当转化，利用椭圆第一定义，把转化为与另一焦点有关的线段，即,再结合平面内三点共线时有最值，而点在线段延长线的不同侧时，会使目标函数取得最大值或最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0），由椭圆的第一定义得：，则，可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当为的延长线与椭圆的交点时，—7—广东石油化工学院高州师范学院毕业论文最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值，两定点为焦点，为长半轴，利用这定义，把所要求的目标函数中的一个焦半径转化为另一焦半径，考

6、虑在什么情况下所求函数值最大，把目标函数转化为容易求解的函数。在把转化时，即转化为、、三点共线进行讨论，当点在延长线时，所求函数有最大值，当点在的延长线时，所求函数有最小值。注意在这类问题中，“和”与“差”中一个不可求，就用定义转化为另一个。正确地画出图形，利用平面几何知识，一般都可以解决问题。2.双曲线的第一定义在最值问题中的巧用双曲线第一定义：平面内点与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数，这个点的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。例3：已知双曲线内有一点,、分别为双曲线左右焦点，是双曲

7、线右支上的动点，求的最小值。分析：目标函数为，从一般方法来解比较困难，则我们可以从定义入手，利用曲线第一定义，把转化为,而为平面内三点距离之和，当,,点共线时有最小值。解:如图2，由题意得、，有双曲线的第一定义得所以，当p点在如图2位置时有最小值，当点在如图2位置时有最小值，即,所以的最小值为。图2—7—广东石油化工学院高州师范学院毕业论文此题巧用双曲线的第一定义把转化为，再结合平面几何知识进行分析，从而问题得解。3.抛物线的第一定义在最值中的巧用抛物线第一定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，

8、直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线例4：设是上的一个动点，求点到的距离与p点到直线：的距离之和的最