方差未知的正态均值灰色区间估计研究

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1、方差未知的正态均值灰色区间估计研究摘要：利用随机样本信息对参数估计是数理统计学的基本内容，但面对模糊或灰色数据如何更好地进行参数估计。在Neyman的正态方差未知的均值置信区间估计理论基础上，借助于灰色理论，研究了在随机信息下方差未知的正态均值灰色区间的估计问题，能更好地比经典的点估计或Neyman的置信区间估计提供有效的信息，并以实例进行了应用。关键词：方差，正态均值，灰色区间估计1灰数的定义灰色系统理论是1982年邓聚龙原创的，是处理少数据不确定性问题的理论。少数据不确定性即称灰性。而灰统计是指将统计对象的实际样本通过白化权函数抽象为数字量（

2、即灰统计量），按此灰统计量统计出对象所属灰类的权。灰数指只知道大概范围而不知其确切值的数，常指某个区间或某个一般数集内取值的不确定数。本文的灰数主要指区间灰数，灰数的白化值记为，其白化权函数主要指三角形（态）（适中测度）白化权函数，其一般形式为：，(1)灰数的截集为：2灰色区间估计灰色估计是指使用灰数作为概率密度函数或离散的概率质量函数的参数估计值。首先，利用Neyman的置信区间理论，来获得作为参数估计值的灰数。令为随机变量且（为参数）为其概率密度函数或概率质量函数。设随机样本，…，令Y＝(x1,…xn)是用以估计参数的统计量，在给定随机变量值

3、为Xi=xi，1in的情形下，能得到的点估计值=y=u（X1，…，Xn）。从而得参数的的置信区间，其中值取为0.01。其区间表示为：(2)在(2)中，0.011，当=1时，即为0%置信区间，此时以点估计值的表示置信区间。令参数的灰色估计数为，是一个灰数。以置信区间定义当时灰数的白化权函数，0.011，得：3=（3）当00.01时，规定灰数的截集为：=（4）由（3）和（4）式的定义，可由以获得灰数的区间估计。因为灰数为三角形态灰数，利用置信区间来构建参数的灰数，显然，比点估计或仅有Neyman的置信区间能提供更多的信息。由的定义，可获得灰数的白化权

4、函数。在（2）式中0.011的范围，令且，所以灰数的基底为，则定义灰数的白化权函数如下：（5）当0.011时灰数的白化权函数。3、方差未知的正态均值的灰色估计数设X是一个服从正态分布的随机变量，假设和未知。现根据一组来自的随机样本信息X1，…，Xn估计未知参数。已知这组随机样本的平均值为，为明确数而非灰数，又样本方差为总体方差的估计值。服从自由度为n-1的t分布，即：(6)故的置信区间为：（7）利用2中灰色估计的方法，可得参数的灰色估计值，是一个三角形态灰数，其灰数的白化权函数为：（8）其中且。4、实例应用3例：为了比较不同国家或地区之间的真正实

5、际生活水平，不能简单地利用货币来计算，需要利用“购买力平价”（简称PPP）方法来测度。假定根据“PPP”方法测算的重庆市一地区人均月收入（元）X服从正态分布，其总体均值和未知。现根据简单随机抽样获得一组来自该总体的有效随机样本，样本均值为2058元，样本标准差为641。则求该总体平均值的99%灰色区间估计。因此，由（7）得，的99%置信区间为：则该总体均值灰数的白化权函数为：5、小结利用随机信息进行参数估计，是数理统计学的基本内容。但经典统计学的方法，都是建立在明确数据上的参数估计。而现实中的大多数据，带有模糊或灰色数据，如何更为准确估计其参数。

6、本文借助于灰色系统的方法，研究了在随机样本的信息下，对方差未知的正态均值灰色区间估计问题，显然，比点估计或Neyman的置信区间能够提供更多的有效信息。参考文献：[1]陈希孺，数理统计引论[M]，北京:科学出版社,1981,11.[2]李勇，基于参数的贝叶斯先验选择方法[J]，西南师范大学学报（自然科学版），2007（2），1-3.[3]刘思峰、党耀国、方志耕等，灰色系统理论及其应用（3版）[M]，科学出版社，北京，2007,1.[4]JamesJ.Buckley，FuzzyStatistics[M]，Springer-VerlagBerlinH

7、eidelberg,2004.3