正态总体均值与方差的区间估计).ppt

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求区间估计的核心在于求枢轴量，一般分布的枢轴量是比较难确定的，因此我们主要考虑总体为正态分布时参数的区间估计．7.4.1单个总体的情形（一）正态总体均值的区间估计设X1，X2，…，Xn为X～N(，2)的样本，对给定的置信水平1–，0<<1，研究参数的区间估计．7.4正态总体均值与方差的区间估计 1.2已知时，的置信区间由于是的无偏估计，且有容易想到将作为求的置信区间的枢轴量．对给定的置信水平1–，由右图易知即正态总体均值的区间估计 根据定义7.4，得到的一个置信水平为1–的置信区间正态总体均值的区间估计 2.2未知时，的置信区间2未知时，不能再用作为求的置信区间的枢轴量，因为其中含有另一个未知参数2．考虑到S2是2的无偏估计，可以用S2代替2，由定理6.3知所以，可以选用作为枢轴量．正态总体均值的区间估计 正态总体均值的区间估计由右图，类似上面的过程，可以得到的一个置信水平为1–的置信区间 【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中抽取16只，测得其寿命（单位：小时）如下所示：1510145014801460152014801490146014801510153014701500152015101470求该灯泡平均使用寿命90%、95%及99%的置信区间，并指出置信区间长度与置信水平的关系．解：用X表示灯泡的寿命，设X～N(，2)，由于2未知,用计算的置信区间．其中n=16,正态总体均值的区间估计 分别取=0.1，=0.05，=0.01，查表得t0.05(15)=1.7531，t0.025(15)=2.1315，t0.005(15)=2.9467．分别代入,计算得到灯泡平均使用寿命的90%、95%及99%的置信区间分别为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20)和(1471.76,1508.24),其长度分别为21.7,26.4和36.48．可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长．正态总体均值的区间估计 （二）正态总体方差的区间估计设X1，X2，…，Xn为来自X～N(，2)的样本，对给定的置信水平1–，0<<1，我们来研究参数2的区间估计．1.已知时，2的置信区间由于X～N(，2)，所以，取枢轴量由于2概率密度不是对称的,对给定的置信水平1–,不容易找到最短的置信区间,习惯上仍取对称形 式的分位点和,如下图，使即根据定义7.4，得到2的一个置信水平为1–的置信区间：的一个置信水平为1–的置信区间：正态总体方差的区间估计 2.未知时，2的置信区间由于未知，不能再用作为枢轴量,考虑用代换，由定理6.3知所以，可以取作为枢轴量.类似已知的情形，容易得到2的一个信水平为1–的置信区间为即正态总体方差的区间估计 即的一个置信水平为1–的置信区间为正态总体均值和方差的置信区间与后面讲到的单侧置信限一并放入表7.1中．正态总体方差的区间估计 被估参数条件枢轴量及其分布参数的置信区间单侧置信限μ2已知2未知表7.1正态总体均值和方差的置信区间与单侧置信限 被估参数条件枢轴量及其分布参数的置信区间单侧置信限2μ已知μ未知 （一）两个正态总体均值差的区间估计设X1,X2,…,Xn1为来自总体X～N(1,12)的样本，Y1,Y2,…,Yn2为来自总体Y～N(2,22)的样本，且两样本相互独立，其样本均值分别记为和，其样本方差分别记为S12和S22.我们来研究参数1–2的区间估计．1.12和22已知时，1–2的置信区间由定理6.4知取枢轴量7.4.2两个正态总体的情形 对给定的置信水平1–，由标准正态分布上分位点的定义，易知即于是，我们得到1–2的一个置信水平为1–的置信区间两正态总体均值差的区间估计 说明:实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的,在两个样本容量都比较大的情况下(n1,n230)，一般采用两个样本方差S12和S22近似代替12和22，于是，1–2的一个置信水平为1–的置信区间可以由近似得到．两正态总体均值差的区间估计 2.12和22未知,但知12=22=2时,1–2的置信区间由定理6.4，当12=22=2时，其中取枢轴量易知，1–2的一个置信水平为1–的置信区间为两正态总体均值差的区间估计 （二）两正态总体方差比的区间估计设X1,X2,…,Xn1为来自总体X～N(1,12)的样本，Y1,Y2,…,Yn2为来自总体Y～N(2,22)的样本，且两样本相互独立，其样本均值分别记为和，其样本方差分别记为S12和S22.我们来研究参数的区间估计．仅对1，2未知的情况，求的置信区间．由定理6.5知取枢轴量 对给定的置信水平1–，由F分布上分位点的定义，易知即于是，我们就得到的一个置信水平为1–的置信区间两正态总体方差比的区间估计 7.4.3单侧置信区间估计上述置信区间中置信限都是双侧的.但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限．例如，购买化学药品时，我们所关心的是化学药品中杂质含量平均值最多是多少，即“上限”；而购买电子产品时更关心的是它们的平均使用寿命至少是多少，即“下限”．这就引出了单侧置信区间的概念． 定义7.6设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，对于总体X的未知参数θ,如果有两个统计量,对给定的(0,1)，(1)若有则称区间是θ的一个置信水平为1–的单侧置信区间，称为单侧置信上限．(2)若有，则称区间是θ的一个置信水平为1–的单侧置信区间，称为单侧置信下限．单侧置信区间 单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求法类似，下面仅给出求正态总体均值和方差的单侧置信区间的部分过程，其他各种情况只将结果列入表7-1．设X1,X2,…,Xn为X～N(，2)的样本，我们来分别研究参数，2的单侧置信区间．(1)2未知时，的单侧置信区间由于枢轴量对给定的置信水平1–，如图7-9有即单侧置信区间 单侧置信区间根据定义，我们就得到了的一个置信水平为1–的单侧置信区间的置信水平为1–的单侧置信上限为考虑如图易知，的另一个置信水平为1–的单侧置信区间为的置信水平为1–的单侧置信下限为 (2)未知时，2的单侧置信区间由于枢轴量对给定的置信水平1–，如图有即于是，得到了2的一个置信水平为1–的单侧置信区间，即单侧置信区间 2的一个置信水平为1–的单侧置信上限为考虑，如图所示，易知，2的另一个置信水平为1–的单侧置信区间为即2的一个置信水平为1–的单侧置信下限为单侧置信区间 作业P147习题7.25P159习题7.42、3、6