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《x年高考总复习数学（文北师大版）配套文档 平面向量的基本定理及坐标表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、x节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
2、a
3、＝.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B
4、(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
5、
6、＝.3．平面向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．若向量＝(2,3)，＝(4
7、,7)，则＝( )A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)答案：A 2．(x·石家庄模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，∴8－4x＝3＋6x，∴x＝.答案：用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．[练一练]设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋______
8、__b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案： －考点一平面向量的坐标运算1.(x·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)解析：选A ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y－(－6))＝(－3,6)，所以即选A.2．(x·北京高考)
9、向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.答案：43．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6
10、，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．考点二平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.[解析] ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.[
11、类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](x·济南调研)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．解析：因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.答案：考点三平面向量平行的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1
12、)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－
