设正数p,q满足p^3+q^3=2,求证：p+q≤2

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1、l设p>0，q>0，且p3+q3=2，求证：p+q≤2.考查不等式的证明基本不等式导数在函数中的应用解答1．利用一元二次方程有实根的判别式法方法一：设p+q=k，则有q=k-p，两边立方，得q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3，即p3+q3=k3-3k2p+3kp2，又因为p3+q3=2，所以得到3kp2-3k2p+k3-2=0※因为p>0，q>0，所以k>0，从而关于p的方程（※）有实根，故△=(3k2)2-12k(k3-2)0，解得k2，即p+q2.方法二：利用p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq=；设p+q=k，从而p

2、q=，故p、q是关于x的方程x2-kx+=0的两个实根，从而△=k2-40，即，，解得（说明：亦可以由k>0，得到k3-80），所以p+q2.2．利用简易逻辑中的反证法方法三：假设p+q>2，则p>2-q，两边立方得p3>8-12q+6q2-q3，而p3+q3=2，6q2-12q+6<0，即6(q-1)2<0，这是不可能的，故p+q2.方法四：假设p+q>2，则p>2-q，两边立方得p3>8-12q+6q2-q3，即得p3+q3>8-12q+6q2=6(q-1)2+22，从而p3+q3>2，这与已知条件“p3+q3=2”矛盾，故p+q2.3．利用基本不等

3、式或均值不等式方法五：pq=，又p+q>0，所以得到4(p+q)3-83(p+q)3，即(p+q)38，从而p+q2.方法六：因为p>0，q>0，所以p+q，两边平方得pq；又因为(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q)2+3，解得p+q2.方法七：因为p>0，q>0，所以，两式相加，因为p3+q3=2，得.1．用导数在函数中的应用来求解方法八：设x=p，则根据条件有q3=2-x3，从而q=，设函数，其中(0,)，求导，；令，得，列表得x(0,1)1(1,)+0-f(x)↑极大值（最大值）↓从而，即p+q2.（说明：事实上，通过上

4、面的分析，得到.方法九：由于p3+q3=2，所以1-p3=q3-1，故p3,1,q3成等差数列，设公差为d，则有p3=1-d，q3=1+d，其中d∈(-1,1)，p+q=；记，可见函数在区间(-1,0)上是增函数，在区间(0,1)上是减函数，从而，即p+q2.方法十：根据条件有，又，设即，其中然后求导（略）.1．利用向量来求解方法十一：设m=(,)，n=(,)，则有m·n

5、m

6、

7、n

8、，即p2+q2，即p2+q2，而，所以，解得p+q2.2．利用函数的凸性来解方法十二：考察函数在区间上是下凸函数，从而对于区间内的任意两个实数p、q，都有，即，因为p3+q3

9、=2，所以，p+q2.