中点、角分线、轴对称全等问题.学案.学生版

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1、中点、角分线、轴对称全等问题内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题一中点模型常用辅助线类型：倍长中线、倍长类中线、等腰三角形与直角三角形中的中点、中位线技巧提炼：1．已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：①倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形．②三角形中位线定理2．已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线．3．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与定点连接用“三线合一”4．有些

2、题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件时候，可以用辅助线添加．二角平分线模型常用辅助线类型：往角两边作垂线、过角平分上一点作角平分线的垂线、在角两边截取相等的线段技巧提炼：角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，三轴对称模型常用辅助线：垂直平分线、作对称点或对称图形，折叠技巧提炼：1．图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻

3、折，这条直线为对称轴．①考察图形折叠的不变量：对应角与对应边②考察图形折叠的折痕：折痕为对应点的连线的垂直平分线2．轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或将分散条件集中起来从而达到解题的目的．3．哪些考虑要用作轴对称的基本图形？①线段或角度存在2倍关系②有互余、互补关系的图形③角度和或差存在特殊角度的④路径最短问题考点一中点模型☞考点说明：利用倍长中线或类中线作辅助线【例1】如图所示，，是的中点，，，求证．【例2】在矩形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上（点E、C不重

4、合）.（1）如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;（2）如图2，且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.FA(M)DNDACEDNMBFECBFNMECBA（2012年海淀二模试题）图1图2图3☞考点说明：巧取等腰三角形与直角三角形中的中点作辅助线【例1】已知：中，，中，，.连接，点、、分别为、、的中点.图1图2（1）如图1，若、

5、、三点在同一直线上，且，则的形状是________________，此时___________；（2）如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；（3）在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.（2010年海淀一模试题）【例2】如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：△DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.求证：DP＝DQ.（2012年朝阳二模试题）☞考点说明：巧用三角形中位线作辅助线【例1】探究问题：已知AD、BE分别为△ABC的边BC、

6、AC上的中线，且AD、BE交于点O.（1）△ABC为等边三角形，如图1，则AO︰OD=__________；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC,AD⊥BE于点F，若AD=BE=4.求：△ABC的周长.（2012年房山二模试题）图1图2图3【例2】在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中

7、，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围（2012年北京中考试题）考点二角分线模型☞考点说明：利用在角两边截取相等的线段【例1】如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交