二次曲线动弦中点轨迹问题

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1、二次曲线动弦中点轨迹问题新洲二中孙强实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(x1≠x2)则有△=b2-4ac>0曲线的参数方程{x=f(k)y=g(k)消参F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=解法一:(点差法)设A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点P(x,y)则有x12+y12=4x22+y22=4两式相减得：例1：直线y=x+b与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B,求弦ＡＢ中点P的轨迹方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k==y1+y2x1+x2-=xy-又k=1所以y=-x,又由直线与圆相交得22-

2、程22-022-2

3、x,y),直线AB的方向向量为=(1,1)又⊥即·=0所以x+y=0即y=-x(-

4、律性结论吗？平行直线系所构成的动弦中点轨迹为直线型，过定点的直线系所构成的动弦中点轨迹与原二次曲线同型。问题2:将例1、例2中的圆换为抛物线：y=x2-2x+2或者椭圆x2+2y2=1,所求轨迹又如何？例1为直线的一部份，例2为圆。1.x=,直线型322.y=,直线型x2-问题5：直线y=kx+m(k为常数）与曲线ax2+by2=1(ab≠0)相交于不同两点A、B则弦AB中点轨迹是什么类型？问题6:过点M(a、b)(a、b为常数)的直线与双曲线x2-4y2=1相交于不同两点A、B，求弦AB中点的轨迹方程？轨迹方程为x2-4y2-ax+4by=0轨迹方程为y=-,轨迹为直线型bk

5、ax问题7：判断问题6中所求的轨迹是什么曲线？问题8：根据问题6、问题7修正问题4中所探索的规律性结论，并给予证明(课外完成)。(x-)2-4(y-)2=-b2a2b2a241)-b2=0即b=±时为两直线a2a242)-b2≠0即b≠±时为双曲线型a2a24小结：二次曲线动弦中点轨迹的求法一个结论(特殊到一般，简单到复杂，先猜后证)作业：已知椭圆x2+2y2=2,(1)求被点P（,）平分的弦所在直线方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹。1212抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点(1)求线段

6、P1P2中点Q的轨迹方程；(2)0≤x≤2求线段P1P2中点Q的最高点和最低点坐标。