中点弦问题 蔡汶伯

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1、关于圆锥曲线的中点弦问题定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.补充：kakb也是定值典题妙解例1设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最大值和最小值.直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问

2、题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两

3、点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。三、弦中点的坐标问题例3求直线被抛物线截得线段的中点坐标。解：上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则。设A、B

4、则……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）推论1设圆的弦AB的中点为P（，则。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）推论3设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）推论4设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为练：由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物

5、线上的性质的内在联系。故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。（2）弦中点轨迹问题设抛物线（）的弦AB，A，B，弦AB的中点C，则有，（1）－（2）得，∴，将，，代入上式，并整理得，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。练2已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。解：