中点弦问题 蔡汶伯

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1、关于圆锥曲线的中点弦问题定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.补充：kakb也是定值典题妙解例1设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最大值和最小值.直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重

2、要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法

3、二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。三、弦中点的坐标问题例3求直线被抛物线截得线段的中点坐标。解：上面我们给出了解决直线与

4、圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则。设A、B则……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）推论1设圆的弦AB的中点为P（，则。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）推论3设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）推论4设抛物线的弦

5、AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为练：由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程。分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。故得所求弦中点的轨迹方程是在抛物线内部的部分。评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点与已知条件的内在联系，列关于，的关系式，进而求出轨迹的方程。（2）弦中点轨迹问题设抛物线（）的弦AB，A，B，弦AB的中点C，则有，（1）－（2）得，∴，将，，代入上式，并

6、整理得，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。练2已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点轨迹方程。解：