42圆锥曲线动弦中点轨迹的探究

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1、案例42圆锥曲线动弦中点轨迹问题的研究[案例背景]本案例由上海市卢湾区教师进修学院高中数学教研员徐庆惠老师设计。本案例可在单元复习时使用。[预备知识]直线、圆锥曲线方程。[问题提出]图42-12005年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷第22题中的第（3）小题要求画出如图42-1所示的椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。解决此问题的关键在于找到并利用椭圆的一组平行弦的中点所具有的特性。本案例对此问题以及对与此问题相关的其他一些问题开展研究。[研究目标]1．通过研究椭圆的动弦的中点轨迹，对椭圆的几何性质有更深刻的理解；2．体验对字母参数进行分类讨论的数学思想方法，从特殊到

2、一般的研究方法，解析几何中数形结合的思想方法，以及将双曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法。[研究过程]一．对特定的椭圆的动弦中点的轨迹的研究。1．对特定的椭圆的平行弦中点的轨迹的研究。问题1：求椭圆中斜率为1的平行弦的中点轨迹。解：设动弦所在直线的方程为（），并设点、的坐标9分别为，，它们应为方程组的实数解。将代入并整理，得，（3）当，即时，方程有两个不同的实数解，即弦存在。设的中点为，由方程得，故，，消去，得。由，及，可得，即点的轨迹方程为，。得点的轨迹是过原点，斜率为，且在已知椭圆内不包括端点的线段。2．对特定的椭圆的平行弦中点的轨迹的研究。问题2：求过点的直线与椭圆相交所得

3、的动弦的中点的轨迹。解：（1）当过点的直线的斜率不存在时，弦即为椭圆的短轴，的中点即为原点；（2）当过点的直线的斜率存在时，设过点的直线方程为，并设点、的坐标分别为，，它们应为方程组的实数解。将代入并整理，得，恒成立，即方程恒有两个不同的实数解，亦即弦存在。9设的中点为，由，可得，，由，得，代入中，得点的轨迹方程为，即。因此点的轨迹是以为中心，焦点在直线上，且长轴和短轴的长分别为和的椭圆。二．对椭圆中的动弦中点的轨迹的研究。上述两个问题都是在特定的椭圆、特定的直线的情况下研究的，下面将问题作一般化的研究。问题3：设直线：交椭圆：于不同的两点、，求中点的轨迹。解：设点、的坐标分别为，，它们应为

4、方程组的实数解。将代入，并整理得，当，即时，弦存在。设的中点的坐标为，得。讨论：（1）当为定值，为参数时，直线为一束平行直线，由，得点的轨迹方程为，9即点的轨迹是过椭圆中心，且在椭圆内，不包括端点的线段。（2）当为定值，为参数时，直线为过定点的直线系，由，得，故，整理得，。因此点的轨迹方程为。即点的轨迹是以为中心且位于已知椭圆内部的椭圆。图42-13．结论的应用。至此，可解决本案例开始时所提出的问题。问题3：如图42-1，已知一椭圆，试在图中作出该椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点。图42-2分析：根据前面研究的结果可以得到椭圆的几何性质：一组平行直线与椭圆相交所得的弦的中点在一条过椭圆中心的定

5、直线上。为进一步确定椭圆中心的位置，可另行选择一组平行直线与椭圆相交，并使所选的两组平行直线具有不同的斜率。于是椭圆中心又应在第二组平行直线与椭圆相交所得的弦的中点所在的直线上。这样这两条直线的交点即为椭圆的中心。作法：（1）确定椭圆的中心。方法一：作两条平行直线分别交椭圆于、和、，并分别取、的中点、，连接直线；再作两条平行线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、9和、，并分别取、的中点、，连接直线。那么直线和的交点即为椭圆的中心（图42-2）。方法二：作两条平行直线分别交椭圆于、和、，并分别取、的中点、，连接直线，与椭圆交于两点，取它们的中点即为该椭圆的中心。图42-3（2）确定椭圆的对称轴

6、及顶点。以为圆心作圆，使得该圆与椭圆有四个交点、、、，连接这四个交点构成一矩形，过椭圆的中心分别作与矩形两组对边分别平行的直线，即为椭圆的两条对称轴，对称轴和椭圆的交点、、、即为椭圆的四个顶点（图42-3）。（3）确定椭圆焦点的位置图42-4根据椭圆的几何性质，以短轴的一个端点为圆心，长半轴为半径作弧，该圆与椭圆长轴的两个交点即为该椭圆的两个焦点、（图42-4）。[相关研究]同样可以完成对双曲线的研究：1．求双曲线中斜率为1的平行弦的中点轨迹。2．求过点的直线与双曲线相交所得的动弦的中点的轨迹。第4题3．设直线：（）与双曲线：交于不同的两点、，求中点的轨迹。94．如图，已知一双曲线，试在图中

7、作出该双曲线的中心、对称轴、顶点、渐近线及焦点。[参考解答]1．设平行弦所在直线的方程为（），于是点、的坐标，为方程组的实数解，将代入并整理，得，（3）当，即或时，方程有两个不同的实数解，即弦存在。设的中点的坐标为，由方程，得，可得，，消去得。又或，及，可得，即点的轨迹方程为，，因此点的轨迹是斜率为，其所在直线过原点的并除去端点的两条射线。2．（1）当过点的直线的斜率不存在时，弦即为双曲线的虚轴，的中点即为原