二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

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1、2009年第8期7二次曲线中点弦，、切线、切点弦及双切线方程胡圣团(湖南省澧县一中，415500)(本讲适合高中)Ax。+．Xoy+Xyo——_+Cyoy4-1知识简介D．+E．+F：0．记G(x，)，)=Ax+B+(++y+1．1二次曲线中点弦的方程1．3二次曲线的切点弦方程设PI(，y)(1，2)是曲线G(，Y)=设从点(。，Y。)引曲线G(，Y)=0的0的弦P．P：的两个端点，P。(。，Yo)是弦两条切线，切点分别为P(，Y)(i=l，2)．P，JE)：的中点．则则过点(。，Y)(i=1，2)的切

2、线方程为+Bxll+cy+l+)，I+F=0，)A。+曰．Xiy+Xyi———一+Cyy+A(2x0一1)+B(2xo—1)(2y0一Y1)+C(2yo—YI)+D(2x0一X1)+D．半+E．十F：0(：1，2)．(2yo—Y。)+F=0．．(因点P。(。，Y。)在上述两切线上，所以，①一②可得+A。+日．—xiyo+xoyi——(2Ax0+日)，0+D)(0一1)+——+Cyiy0+(2Czo+0+E)(一YJ)=0．因为(。一。，Y。一Y)是弦P。P2的方向D．+E．+F：0(i：1，2)．‘‘向

3、量，所以，(2Ax0+Byo+D2Cy0+Bx0+E)以上两式说明，点P(，Y)(1，2)都是弦P，P的法向量．因此，弦P，尸2的方程是在以下直线上：(2Ax0+日yo+D)(。一)+A。+曰．—Xoy+xyo———(2Cy,)+Bx0+)(y0一Y)=0．—+Cyoy+厶为记忆方便，上述方程可整理为．+x4。+曰．Xoyyo+Cy—————oy+D．+E．y_o_~zy+F：0．①因此，从点P。(。，Yo)引曲线c(x，Y)：0D．+．yo~_Zy+F的两条切线所得切点弦的方程为式①．1．4双切线方程

4、=+oYo+c+Dxo+Fro+1．2二次曲线的切线方程，从二次曲线外一点引曲线的两条切线，称为该点关于该曲线的双切线．把切点弦看当曲线G(x，Y)=0的弦PP2的两个端成双重合直线，则双切线就是过该双重合直点P(，Y)(=l，2)重合时，P(XiYi)(线与二次曲线公共点的相交双直线．因而，可0，1，2)三点重合于曲线上一点Po(。，Yo)，用二次曲线方程和切点弦方程表示为直线P，Pz就是曲线G(，Y)=0在点处4+Bxy+Cly。+D+E+F+的切线．由于Po(X0Yo)在曲线上，于是，Ax+Boy

5、b+Cyo+Dxo+Eyo+F：0．J=【fA。+日—Xo下y+xyo+Cy。y+故曲线(，Y)：0在其上一点(，Yo)处的切线方程是D·蛆-o()．收稿日期：2008—12—11修回1日期：2009—04—14把双切线交点Pn(‰，Yo)代人上述方程8中等数学可以确定J=【，进而求出双切线方程．因此，所求最小值是8．：．，i注：题电、Ⅳ、8、c的位置都依赖点P2四种方程的应用0‘、．的位置，而点尸的位置只需一个自由变量即例1如可描述，于是，可把这种解析几何最值问题转图1，P是抛物J化为函数最值问题．另

6、外，借切点弦方程，用线y2=2x上的、双切线方程求点日、C的坐标能起到减少解动点，点B、CB题环节的作用．在Y轴上，圆0例2如图2，过直线Z：5一7y一70=0(一1)+y=1上的点P作椭内切于△PBC．＼lV求△PBC面积C圆+等=1、的最小值．厂一。／～图1的切线PM、(2008，全PN，切点分别／，7国高中数学联赛)为、Ⅳ，联结讲解：由抛物线的对称性，不妨设MN．图2P(2t，2t)(t>0)．因为圆的方程是+Y一2x=0，所以，切点弦MN的方程为2t+2ty一(+2t)=0，(2)当MN／／I时

7、，定点Q平分线段MN．即(2t一1)~2ty一2t=0．故双切线胎、尸c就是通过二重直线讲解：(1)在直线1上任取一点[(2t一1)+2￡y一2t]=0P(7t+7，5t一5)，与圆的所有公共点的二次曲线，其方程为故P关于椭圆的切点弦MN的方程为(一1)+y2—1+[(2t一1)x+2ty一2t]=0．．+．‘y一1：0把点P的坐标代人上式得_一1于是，双切线胎、PC的方程可以写成甘(+吾y)t+一吾y一-=o．x-1)+y2一l一1(2￡一1)+2一2￡]=n5x在上式中令=0，得令Y=一1或Y=1一

8、，因为当t=1时，只有一条切线P和轴解方一程组，得日259，y一而·相交，当01．因此，直线删恒过定点Q25·，一)．于是，Y口，Yc1-t，(2)注意到c==苦．MNfl§：(_7=故~PBC-BCI=当￡=时，删的方程为==2【2-1)+11t>8．5，，一-o．，当且仅当t：时，E式等号成立．2009年第8期9样运动，都有AQP：?证明你的古×鲁+古可(I--~)、Y=1I25