习题课1-质点运动学

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1、《经典力学》（上）习题课第1次质点运动学题1.1路灯离地面高度为H，一个身高h的人，在灯下水平路面上以匀速步行，步行速度值为v0解：建坐标如图。任意时刻影子长为l，影子移动的速度为求：当人与灯距离为x人时,头顶在地面的影子移动的速度v。由图可得则题1.2如图所示，椭圆规的AB杆上A、B两点分别沿oy槽、ox槽移动，且A点以匀速v0运动。试求杆上C点的运动轨迹，速度和加速度。l1l2θABCOyx1.2题图【解】求轨迹设t时刻AB杆与x轴的夹角为θ，则C点坐标为在以上两式中消去θ得C点轨迹为椭圆(1)(2)求速度和加速度C

2、点得速度分量为(3)(4)按题意vA＝v0，由(4)式得代入(3)式得C点的速率(5)(6)(7)将(3)式对时间求导，得C点的加速度由于杆的A端作匀速直线运动，aA＝0或aAy＝0，而(8)(9)由此得(10)(11)(12)对（6）式可直接求导得到以上结果题1.3以速度V和地平面成θ角发射一火箭，在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动轨迹。xoga’τvθθθ0v0yθdydxds题1.3图【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为a’，火

3、箭的加速度为其切向分量和法向分量分别为因为火箭的速率恒定，故有（1）即有（2）式中ρ是火箭所在处的曲率半径。代入（2）式得（3）将（3）式积分，考虑初始条件，当t＝0时，x＝0，θ＝θ0。可得又因为（4）对上式两边积分，并考虑当x＝0时y＝0，可得题1.4一气球以v0速率自地面开始上升，由于风的影响，气球的水平速度以vx=by的规律变化，其中b为常量，y是气球离地面的高度（x轴取地平面向右的方向）。试求（1）气球的运动轨迹方程（2）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半径与y的关系xyo气球题1.4图【解】（1）取直角坐

4、标系o－xy。设t＝0时，气球位于地面坐标原点处。已知vy=v0,vx=by即有y=v0t(1)则由积分可得(2)气球的运动方程(3)消去t可得轨迹方程(4)（2）气球的速率加速度(5)(6)切向加速度(7)法向加速度得到(8)(9)题1.5一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转，角速度为ω。在杆上套有一小环（可看作质点）相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t＝0时小环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时刻小环的速度和加速度。【解】取平面极坐标系。设t＝0时，杆与极轴重合。任意t时刻消去t小环的轨迹是阿基米德螺旋线径向速度

5、横向速度速率小环的加速度径向加速度横向加速度加速度题1.5图题1.6一条笔直的河流，宽为d，河水以恒定速度u流动。小船从河岸A点出发，为了到达对岸的O点，它相对于河水以匀速率v（v＞u）运动，无论在何处，小船的运动方向始终指向O点。已知AO=r0，∠AOP=φ0。求小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的正对面（即AO=d）结果又如何？题1.6图【解】取平面极坐标系。极点与O重合，极轴与河岸OP重合。小船的位置由r、φ确定。径向速度与横向速度分别为两式相除得分离变量积分小船的运动轨迹方程若O点在A点正对面，则r0＝d，φ0＝π

6、/2。则有题1.7质点在有心力的作用之下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率与此距离成反比，即v=a/r。如果，求质点的轨迹方程。假设当r=r0时，θ=θ0=0。解题思路：要求质点的轨迹方程，即求r关于θ的函数，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，求得关于的一阶微分方程。而即两边积分得第1次习题教材第一章练习（P46）1-6、1-8、1-10、1-12、1-13、1-14、1-15、1-16