金融工程_第十二章_布莱克-斯科尔斯-莫顿模型

《金融工程_第十二章_布莱克-斯科尔斯-莫顿模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第13章Black-Scholes-Merton模型内容提纲股票价格和收益的分布性质波动率布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程风险中性定价布莱克-斯科尔斯定价公式隐含波动率股息对期权定价的影响313.1股价的对数正态分布性质lognormalpropertyofstockprices令股价为S定义：m为股票每年的收益率期望；s为股票价格每年的波动率在Dt时间段股票收益的均值值为mDt,股票收益服从正态分布:代表期望为m,标准差为v的正态分布412.6节证明了：lnST服从正态分布,则ST服从对数正态分布对数正态分布图613.2收益率的分布Thedistributi

2、onoftherateofreturn若x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则78913.3预期收益率Theexpectedreturn（13.4）表明股价的期望值为S0emT股价的预期收益率为m–s2/2；而不是m原因：10m和m−s2/2m=E(DS/S)，是日均收益率m−s2/2则是所有数据所覆盖的的区间上的期望收益1113.4波动率volatility股票波动率可以被定义为按连续复利时股票在年内所提供收益率的标准差在Dt时间内股票价格变化百分比的标准差为:如果股价为$50，波动率为30%，对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于：1213.4.1

3、历史数据法在时间长度为t年内，观察到股价为S0,S1,...,Sn。计算第i个区间结束时的股票收益率计算ui的标准差s由（13-2）得：ui的标准差也为，因此有：131413.4.2交易日天数与日历天数交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易日天数而不是日历天数背景：1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯

4、和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。1513.5布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念ConceptsunderlyingtheBlack-Scholes-Mertondifferentialequation基本思路我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是

5、影响期权价格的最根本因素。要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。16构建无风险交易组合构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于无风险利率r原因：股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价）的影响；在任意短时期内，衍生品价格与股价强相关性在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏例：假设△c=0.4△S，可构造无风险交易组合0.4只股票的长头寸一个看涨期权的短头寸1718假设：1、股票价格遵循几何布朗运动，即和为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易

6、费用和税收，所有证券都是完全可分的4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。19：13.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导derivationoftheBlack-Scholes-Mertondifferentialequation由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔中，f的变化值△f为:20为了消除风险源

7、，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：在时间后，该投资组合的价值变化为：代入△f和△S可得21中不含任何风险源，因此组合　必须获得无风险收益，即代入上式可得化简为**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。22边界条件keyboundaryconditions在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其中：表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：23

8、24观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于