[精选]布莱克休尔斯莫顿期权定价模型.pptx

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1、11.0第十一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型1973年，美国芝加哥大学教授提出了著名的定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，C.独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。1©&,2008布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型基本思路11.1我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标

2、的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。2©&,2008股票价格的变化过程11.2市场有效理论与随机过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应

3、是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。有效市场三个层次3©&,2008布朗运动11.2.1布朗运动（）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。对于标准布朗运动来说：设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1

4、：和的关系满足：=其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。4©&,2008布朗运动11.2.1将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x的普通布朗运动：标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。5©&,2008布朗运动11.2.1普通布朗运动的离差形式为，显然，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为1、显然，遵循普通布朗运动的变量x

5、是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。6©&,2008伊藤过程与伊藤引理11.3普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到这就是伊藤过程（）。其中，是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方

6、差率为b2。7©&,2008伊藤过程与伊藤引理11.3在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。8©&,2008伊藤过程与伊藤引理11.3案例11.1运用伊藤引理推导所遵循的随机过程假设变量S服从其中μ和σ都为常数，则遵循怎样的随机过程？由于μ和σ是常数，S显然服从，的伊藤过程，我们可以运用伊藤引理推导所遵循的随机过程。令，则代入式我们就可得到所遵循的随机过程为由于是股票的连续复利收益率，得出的公

7、式说明股票的连续复利收益率服从期望值，方差为的正态分布。**随机微积分与非随机微积分的差别9©&,2008股票价格的变化过程：几何布朗运动11.2.4一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示：之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。10©&,2008股票价格的变化过程：几何布朗运动11.2.4从案例11.1我们已经知道

8、，如果股票价格服从几何布朗运动，则有从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动时，其在任意时间长度内的变化值都服从均值为、方差为的正态分布。也就是说，11©&,2008股票价格的变化过程：几何布朗运动11.2.4由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态