布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

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1、11.布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型河南大学工商管理学院财务金融系李治国E-mail:kflizhiguo@126.com§1布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路期权是其标的资产的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化。股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。§2股票价格的变化过程布朗运动（Brown

2、ianMotion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。一、标准布朗运动其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值。设△t代表一个小的时间间隔长度，△z代表变量z在时间△t内的变化，遵循标准布朗运动的△z具有两种特征：特征1：△z和△t的关系满足：由此可以看出：即：当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：特征2：对于任何两个不同时间间隔△t，△z的值相互独立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：由于εi服从标准正态分布，且相互独立。因此：其中：N△t=T为何使用布朗运动？正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续

3、复利收益率近似地服从正态分布数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（QuadraticVariation）不为零的性质，与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，

4、证券价格能完全反应全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。二、普通布朗运动其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为

5、b2，就可得到变量x的普通布朗运动：漂移率：单位时间内变量z均值的变化值方差率：单位时间的方差遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程：adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a；bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。普通布朗运动的离差形式为，显然，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。三、伊藤过程与伊藤引理其中：dz

6、是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式得到伊藤过程（ItoProcess）：这就是伊藤过程（ItoProcess）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。由于根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下

7、过程：四、股票价格的变化过程：几何布朗运动一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示：之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。令由于代入式证券价格对数G遵循普通布朗运动,且具有恒定的漂移率μ-σ2/2和恒定的方差率σ2。得到证券价格对数G所遵循的随机过程为：案例11.1运用伊藤引理推导LnS所遵循的随机过程1.从自然对数的定义域可知，S不能为负数。2.股票价格的对数服

8、从普通布朗运动，股票价格和连续复利收益率服从对数正态