金融工程 第八章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型.ppt

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1、第14章Black-Scholes-Merton模型金融工程内容提纲股票价格和收益的分布性质波动率布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程风险中性定价布莱克-斯科尔斯定价公式隐含波动率股息对期权定价的影响2金融工程第八章金融工程第八章3维纳过程：布朗运动假设股票价格的波动为布朗运动（维纳过程），在离散情况下，则为随机游走序列。：股票价格在一个很短的时间内的变化。μ：股票的年收益率期望；σ：股价的年波动率。dz基本维纳过程：(1)，其中dz代表影响股票价格变化的随机因素标准正态分布；(2)在任何两个不相重叠的dt内，变化量dz相互之间独立（方差可加）。

2、马尔科夫过程与维纳过程性质1，dz本身服从正态分布，并且dz的期望值=0，dz的方差=dt；性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。马尔科夫过程：只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量的历史以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。马尔科夫过程与弱有效市场一致：股票的当前价格包含过去价格的所有信息。金融工程第八章414.1股价的对数正态分布性质令股价为S定义：m为股票每年的收益率期望；s为股票价格每年的波动率在Dt时间段股票收益(DS/S)的均值为mDt，标准差为，股票收益服从正态分布：代表期望为m，方差为v的正态分布。金融工程第八章

3、5对数正态分布：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么我们就定义这个随机变量本身服从对数正态分布：lnST服从正态分布，则ST服从对数正态分布。6金融工程第八章对数正态分布例14-2P2127金融工程第八章14.2收益率的分布若x代表从0~T之间以连续复利计的收益率，则金融工程第八章814.3预期收益率µ股价在T时刻的期望值为S0emT；在一个短期Dt内股票价格变化百分比的期望值是mDt；在所有数据覆盖的区间上，股票的连续复利收益率的期望为m–s2/2；mDt=E(DSi/S)，在每个小区间上股票价格的平均收益率。金融工程第八章914.4

4、波动率volatility股票的波动率是用来度量股票提供收益的不确定性；股票价格的波动率可以被定义为股票在1年内按连续复利所提供收益率的标准差。在Dt时间内股票价格百分比变化（收益率）的标准差为：如果股价为$50，波动率为30%，对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于：10金融工程第八章14.4.1历史数据法1、在时间长度为t年内，每个区间结束时，观察到股价为S0，S1，...，Sn。2、计算第i个区间结束时的股票收益率:3、计算ui的标准差s;4、由（14-2）得：ui的标准差为，因此有：11金融工程第八章14.4.2交易日天数与日历

5、天数交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高；因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易日天数（252天）而不是日历天数；金融工程第八章1214.5布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念背景：1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿

6、期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。13金融工程第八章基本思路：构建无风险交易组合构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于无风险利率r。原因：①股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价变动）的影响；②在任意短时期内，衍生品价格与股价完全相关性；③在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏；例：假设△c=0.4△S，可构造无风险交易组合：0.4只股票的多头；一个看涨期权的空头；14金融工程第八章15金融工程第八章假设：金融工程第八章161、股票价格遵循几何布朗运动，其中u和s为常数；

7、2、可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入；3、无交易费用和税收，所有证券均可无限分割；4、在期权期限内，股票不支付股息；5、不存在无风险套利机会；6、证券交易为连续进行；7、短期无风险利率r为常数，并对所有期限都是相同的。：14.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导（1）由于股票价格S遵循几何布朗运动，在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S：（2）设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f是S和t的函数，根据伊藤引理可得，在一个小的时间间隔中，f的变化值△f为：17金融工程第八章14.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导（3）为了消除维纳

8、过程（风险源）△z，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位股票多头的组合。令代表该投资组合当前的价值，则：在时间后，该投资组合的价值变化为：代入△f和△S表达式，可得金融工程第