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《9183数论（第二版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、目录!整除$$0"最大公约数与最小公倍数$$2#素数及唯一分解定理$00$不定方程&一'$04%竞赛问题选讲&一'$#A&同余$!!'几个著名的数论定理$AA(阶及其应用$2$)不定方程&二'$23!!"!!!!!*竞赛问题选讲&二'$"!!!习题解答$32目!!录"整除本书中所涉及的数都是整数!所用的字母除特别申明外也都表示整数!设""#是给定的数!##!!若存在整数$!使得"%#$!则称#整除"!记作#$"!并称#是"的一个约数#或因子$!而称"为#的一个倍数!如果不存在上述的整数$!则称#不能整除"!记作#$"
2、!由整除的定义!容易推出整除的几个简单性质#证明请读者自己完成$%#"$若#$$!且$$"!则#$"!即整除性质具有传递性!##$若#$"!且#$$!则#$#"$$$!即为某一整数的倍数的整数之集关于加"减运算封闭!反复应用这一性质!易知%若#$"及#$$!则对任意整数&"'有#$#"&%$'$!更一般地!若""!"#!&!"(都是#的倍数!则#$#""%"#%&%"($!!!"!!!!#&$若#$"!则或者"%!!或者)")%)#)!因此!若#$"且"$#!则)")%)#)!对任意两个整数""###&!$!"当然未
3、必被#整除!但我们有下面的结论'''带余除法!这是初等数论中最为基本的一个结果!#'$#带余除法$设""#为整数!#&!!则存在整数*和+!使得"%#*,+!其中!'+(#!并且*和+由上述条件唯一确定!整数*称为"被#除得的#不完全$商!数+称为"被#除得的余数!注意!+共有#种可能的取值%!!"!&!#("!若+%!!即为前面说的"被#整除的情形!""易知!带余除法中的商*实际上为()#不超过的最大整数$!而带余##除法的核心是关于余数+的不等式%!'+(#!我们在后面将看到这一点!证明#$"的基本手法是将"分解
4、为#与一个整数之积!在较初级的问题中!这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生!下面两个分解式在这类论证中应用很多!"!整!!除"#)$若(是正整数!则-(./(%#-./$#-(.",-(.#/,&,-/(.#,/(."$!#*$若(是正奇数!则#在上式中用(/代换/$-(,/(%#-,/$#-(.".-(.#/,&.-/(.#,/(."$!例!!证明%"!&!"被"!!"整除!*#!!个!证明!由分解式#*$!我们有"!&!"%"!#!","%#"!&$*+,"*#!!个!%#"!&,"$(#"!&$
5、**.#"!&$*),&."!&,")!所以!"!&,"#%"!!"$整除"!&!"!*#!!个!#(#0例"!设0&(%!!证明%##,"$)##."$!#(,"0((("证明!在分解式#)$中取-%#!/%"!并以#代替那里的(!得出#0#(,"#(,"#0.(."#(,"#."%##."$(##$.",&,#,")!!!#!!!!#(,"#0故##."$)##."$!(,"((又####."%##."$##,"$!((,"从而####,"$)##."$!(0于是由整除性质#"$知####,"$)##."$!注!
6、整除问题中!有时直接证明#$"不易入手!我们可以尝试着选择适当的+中间量,$!来证明#$$及$$"!由此及整除性质#"$!便导出了结论!例#!对正整数(!记1#($为(的十进制表示中数码之和!证明%,$(的充分必要条件是,$1#($!证明!设(%"223"!,&,""3"!,"!#这里!'"4',!且"2#!$!则1#($%"!,"",&,"2!我们有2(.1#($%"2#"!."$,&,""#"!."$!!对"'4'2!由分解式#)$知,$#"!4("$!故!式右端2个加项中的每一个都是,的倍数!从而由整除性质##
7、$知!它们的和也被,整除!即,$#((1#($$!由此易推出结论的两个方面!数!!论"!!注!!整除性质##$提供了证明#$#""%"#%&%"($的一种基本的想法!我们可尝试着证明更强的#也往往是更易于证明的$命题%#整除每个"4#4%"!#!&!($!这一更强的命题当然并非一定成立!即使在它不成立时!上述想法仍有一种常常奏效的变通%将和""%"#%&%"(适当地分组成为$"%$#%&%$2!而#$$4#4%"!#!&!2$!读者将看到!为了证明#$"!我们有时针对具体问题将"表示为适当数之和!以应用上述想法论证!
8、注"!例&的证明!实际上给出了更强的结论%对任意正整数(!数(与1#($之差总是,的倍数!由此易知!(与1#($被,除得的余数相同#这可表述为(与1#($模,同余!请看第*单元$!注#!有些情形!我们能够由正整数十进制表示中的数码#字$的性质!推断这整数能否被另一个整数整除!这样的结论!常称为+整除的数字特征,!被#")""!整除的数的数字特征
