中学数学概念的教学

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1、中学数学概念的教学概念理论关系结构中学数学概念的教学一、什么是概念二、概念的内涵和外延三、概念间的关系四、概念的定义五、概念的划分六、数学概念学习的基本理论七、数学概念的教学设计应注意的问题八、数学概念教学的几点体会——以“双曲线为什么有渐近线”为例一、什么是概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由

2、一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。二、概念的内涵和外延1.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的方面）；概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）。例如，“平行四边形” 的内涵包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分等等。“平行四边形” 的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行四边形。2.概念的内涵与外延之间的反变关系：要对概念加深认识，还要注意逻辑学中称之为概念的

3、内涵与外延的反变关系，即：概念的内涵扩大时，其所得的新概念的外延缩小；当概念的内涵缩小时，其所得的新概念的外延扩大。反之，也成立。例如，在“矩形”概念的内涵中增加“一组邻边相等”的属性时，就得到外延缩小了的“正方形”的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性，就得到外延扩大了的“平行四边形”的概念。利用概念的内涵与外延的反变关系，通过采取扩大概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质，这种方法在逻辑学中称之为“概念的限制”；通过缩小概念内涵的同时扩大概念外延的方法来认识同类概念

4、的共同性质，这种方法在逻辑学上称之为“概念的概括”。在中学数学的概念教学中，经常使用概念的限制和概括的方法给新概念下定义和复习同类概念的共同性质。三、概念间的关系概念间的关系，是指两个概念的外延所对应的集合之间的关系。概念之间的关系可分为四类：同一关系：从属关系交叉关系全异关系。同一关系如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关系，这两个概念叫做同一概念 （图（1））。例如，“等边三角形”和“正三角形”，一个圆的“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。具有同一关系的两个概念在推理时

5、可以互相代替。从属关系如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关系叫做从属关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概念A叫做种概念（图（2））。例如“有理数”和“实数”具有从属关系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是种概念。属概念和种概念是相对的。例如，“矩形”和“平行四边形”具有从属关系，这时，“矩形”是种概念； “正方形”和“矩形”也具有从属关系，而这时“矩形”是属概念。交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么这两个概念之间的关系叫做交叉关系，这两个概念

6、叫做交叉概念（图（3））。例如，“有理数”和“正实数”是交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。又如，“矩形”和“菱形”是交叉概念，它们外延的交集是“正方形”的外延。全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么这两个概念之间的关系叫做全异关系（或不相容关系），这两个概念叫做全异概念（图（4））。“直角三角形”和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。在全异关系中，有两种常见的特殊情形：（1）矛盾关系。如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集等于某一属概念C的外延，那

7、么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系，这两个概念叫做矛盾概念（图（5））。例如，“有理数”和“无理数”相对于实数来说具有矛盾关系。又如“等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。(2)对立关系。如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集为某一属概念C的真子集，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系，这两个概念叫做对立概念（图（6））例如，“正有理数”和 “负有理数”相对于有理数来说是具有对立关系的两个概念。又如，“锐角三角形”和“直角三角形”是一对

8、对立概念。四、概念的定义概念是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。1.定义定义是建立概念的逻辑方法，下定义的模式通常有两种：一种是通过揭示概念的内涵来给出定义；另一种是通过揭示概念的外延来给