向量_-_向量叉乘_向量点乘

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1、向量-向量叉乘向量点乘2010年07月28日星期三14:33向量（Vector）在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。向量加法向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：   V1（x1,y1）+V2（x2,y2）=V3(x1+x2,y1+y2)下图表示了四个向量相加。注意

2、就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。点乘（DotProduct）如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：   V1(x1,y1) ·V2(x2,y2)=x1*x2+y1*y2注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：   A ·B=

3、A

4、

5、B

6、Cos(θ)θ是向量A和向量B见的夹角。这里

7、A

8、我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，在二维空间中就是

9、A

10、=sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的

11、夹角：   Cos(θ)=A·B/(

12、A

13、

14、B

15、)当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0和cos(0)=1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）叉乘（crossproduct）相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：   V1(x1,y1

16、)×V2(x2,y2)=x1y2–y1x2看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：   A×B=

17、A

18、

19、B

20、Sin(θ)然而角度θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。下图中θ为负。另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。（译注：三维及以上的叉乘参看维基：http://en.wikipedia.org/

21、wiki/Cross_product）点-线距离找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以

22、AB

23、，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。   d=(ABxAC)/

24、AB

25、如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(ABXAC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是

26、AB

27、，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。当我们要找点到线段的距离时，情况

28、变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积ABBc来判定两线段间夹角。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。源代码参考如下：    //ComputethedotproductAB  BC    intdot(

29、int[]A,int[]B,int[]C){        AB=newint[2];        BC=newint[2];        AB[0]=B[0]-A[0];        AB[1]=B[1]-A[1];        BC[0]=C[0]-B[0];        BC[1]=C[1]-B[1];        intdot=AB[0]*BC[0]+AB[1]*BC[1];        returndot;    }    //ComputethecrossproductABxAC    intcross(int[]A,int[]B,int

30、[]C){