在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

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1、初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2012年9月28日5在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为（1）其中是谐振子的质量，是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为（2）体系的能量本征方程（亦即不含时Schrödinger方程）为（3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒

2、子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：（4）将方程（3）无量纲化，为此，令5，，=（5）（3）式可改写为（6）这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看在时的渐进行为。当很大时,与相比可以略去，因而在时，方程(6)可近似表示为（7）时，它的渐近解为。因为波函数的标准条件要求当时应为有限，所以不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即。方程(6)在为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在为有限处的解有如下形式：（8）式中A为归一化系数，（8）代入(6)式，得（9）用级数解法，即把H展开成的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在时使

3、为有限，而级数只含有限项的条件是为奇数：，。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为，（10）因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。5当时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式：（11）可以证明，厄密多项式满足正交性公式：（12）归一化的谐振子能量本征函数为，（13）归一化常数（14）线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：（15）二、能量本征态下力学量平均值的计算利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式：（16）（17）（18）（19）5利用（16）之（

4、19）及的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在态下以下各力学量的平均值：（20）（21）（22）（23）在上述结果基础上，容易求出态下谐振子的平均势能和平均动能为（24）（25）5