在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

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1、初中物理题目:在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位:响水滩乡中心学校作者姓名:宁国强2012年9月28日5在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要:本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路,阐述了一般表象的概念。关键词:一维线性谐振子;坐标表象;一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为(1)其中是谐振子的质量,是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为(2)体系的能量本征方程(亦即不含时Schrödin

2、ger方程)为(3)严格的谐振子势是一个无限深势阱(如图1所示),粒子只存在束缚态,即起波函数应满足以下条件:(4)将方程(3)无量纲化,为此,令5,,=(5)(3)式可改写为(6)这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它,我们先看在时的渐进行为。当很大时,与相比可以略去,因而在时,方程(6)可近似表示为(7)时,它的渐近解为。因为波函数的标准条件要求当时应为有限,所以不满足边界条件(4)式,应弃之。波函数指数上只能取负号,即。方程(6)在为有限处的根据以上讨论,可令方程(6)在为有限处的解有如下形式:(8

3、)式中A为归一化系数,(8)代入(6)式,得(9)用级数解法,即把H展开成的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项,才能在时使为有限,而级数只含有限项的条件是为奇数:,。代入(5)中的第三式,可得一维线性谐振子的能级为,(10)因此,线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示),两相邻能级间的间隔为,这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。5当时,方程(6)的级数解退化为下述厄密多项式:(11)可以证明,厄密多项式满足正交性公式:(12)归一化的谐振子能量本征函数为,(13)归一化常数(14)线性谐振

4、子的能量本征函数满足以下正交归一关系:(15)二、能量本征态下力学量平均值的计算利用厄密特多项式的递推公式及(13)(14)式可以导出下列非常有用的公式:(16)(17)(18)(19)5利用(16)之(19)及的正交归一关系(15)式,可方便地计算出在态下以下各力学量的平均值:(20)(21)(22)(23)在上述结果基础上,容易求出态下谐振子的平均势能和平均动能为(24)(25)5

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