§3.2线性谐振子

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1、§3.2线性谐振子重点：   谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别　　(3.2-1)其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为（3.2-2）故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为由于U(x)与时间无关，故为定态。线性谐振子的定态薛定谔方程为（3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量（3.2-5）（3.2-6）（3.2-7）则方程（3.2-4）可改写成（3.2-8）我们令方程（3.2-8）的一般解为（3.2-9）得到H所满足的方程（3.2-10）（

2、3.2-11）代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级（3.2-12）n=0,1,2,…，由此得下面结论：（1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的，（2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔，这与普朗克假设一致。（3）谐振子的基态（n=0）能量为（3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。                           对应于不同的n或不同的。（3.2-14）方程（3.2-14）的解是厄密多项式，

3、它可以用下列式子表示（3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。下面列出前面n项厄密多项式：（3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量En的波函数是（3.2-17a）或（3.2-14b）这函数称厄密函数，式中Nn为归一化常数。由归一化条件经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下：（3.2-19）    从上面各式容易看出，等函数是x的偶函数，即我们称这些波函数具有偶宇称，而等波函数是x奇函数，即我们称这些波函数具有奇宇称。（三）与经典比较                 

4、                                         经典和量子谐振子的能级与分布几率   上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表波函数，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。除了外均不为零（即不与ax轴相交），故无节点；当n=1时，波函数有一个节点，余类推，因此波函数有n个节点，即有n个根。从图可见，量子力学的结果与经典理论对同样能量谐振子计算的几率函数是完全不同的:随着量子数n的增加，量子力学谐振子几率分布将

5、趋向于经典谐振子的几率分布，差别只在于绕平均值迅速振荡而已。下图中实线是n=11时的几率分布，虚线代表经典谐振子位置几率分布。