高中物理竞赛讲义-静电场重要模型及专题

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1、静电场重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图7-5所示，在球壳内取一点P，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为ΔE1=kΔE2=k为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ，显然=ΔΩ=所以ΔE1=k，ΔE2=k，即：ΔE1=ΔE2，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对

2、的面元ΔS3和ΔS4、ΔS5和ΔS6…激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS，它在球心O点激发的场强大小为ΔE=k，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ=Σ=0，最后的ΣE=ΣEz，所以先求ΔEz=ΔEcosθ=k，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为

3、ΔS′所以ΣEz=ΣΔS′而ΣΔS′=πR2【答案】E=kπσ，方向垂直边界线所在的平面。〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE=ΣEx…〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R，电荷体密度为ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R

4、′，=a，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P，设=r1，=r2，则大球激发的场强为E1=k=kρπr1，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2=k=kρπr2，方向由P指向O′E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OPO′是

5、相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为kρπa，方向均沿O→O′，空腔里的电场是匀强电场。〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？〖解说〗上面解法的按部就班应用…〖答〗πkρq〔−〕。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，=r，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段Δ

6、L，它在P点形成的电势ΔU=k环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP=〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？〖答〗UP=；结论不会改变。〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？〖解说〗（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5ΔU1=k=k·=kσΔΩΔU

7、2=kσΔΩ它们代数叠加成ΔU=ΔU1+ΔU2=kσΔΩ而r1+r2=2Rcosα所以ΔU=2RkσΔΩ所有面元形成电势的叠加ΣU=2RkσΣΔΩ注意：一个完整球面的ΣΔΩ=4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π，所以——ΣU=4πRkσ=k（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k；（2）球心电势仍为k，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7

8、-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q，外壁的电荷量为+Q