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《高等数学(二)下考点及题型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学（二）下期末考试考点第6章定积分及其应用1、会利用函数的奇偶性求对称区间上积分例1计算.解因为积分区间对称于原点，且为偶函数,为奇函数，所以例2计算解原式偶函数奇函数单位圆的面积2、会求平面图形的面积和旋转体的体积例3求由抛物线与直线所围成的面积.解由方程组解得它们的交点为选为积分变量，则的变化范围是任取其上的一个区间微元则可得到相应面积微元从而所求面积例4求由和所围成的图形的面积.解面积微元:所求面积:例4计算由曲线和所围成的图形的面积。解面积微元:所求面积:例5求曲线,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.解体
2、积微元:所求体积:例6过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线轴围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积解：设切点，则切线的方程为也可以这样列式例7求曲线,与轴所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.解：第7章多元函数微分学1、掌握复合函数和隐函数微分法，并会求一阶偏导和二阶偏导；例1设求例2设方程确定了隐函数，求例3设而求和解例4求的偏导数.解设则可得则2、掌握求二元函数的极值的方法：第一步解方程组求出的所有驻点；第二步求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值
3、点.最后求出函数在极值点处的极值.例6求函数的极值.解先解方程组解得驻点为再求出二阶偏导数在点(1,0)处,又故函数在该点处有极小值在点(1,2)处,处，故函数在这两点处没有极值;在点处，又故函数在该点处有极大值3、掌握用拉格朗日乘数法求条件极值在所给条件下,求目标函数的极值.引进拉格朗日函数例7求函数在附加条件下的极值.解作拉格朗日函数由故是函数在条件(1)下唯一驻点.第8章二重积分与曲线积分1、二重积分会交换积分次序；例1交换二次积分的积分次序.例2交换二次积分的积分次序.2、会利用对称性和奇偶性求二重积分；例3计算其
4、中积分区域由曲线与所围成.解令因为关于轴对称,且故例4计算其中例5计算其中区域3、掌握格林公式并会它来计算第二类曲线积分，其中L是D的取正向的封闭边界曲线.例1求，其中为圆周依逆时针方向解由题意知,为区域边界的正向,故根据格林公式,有例2计算其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线令由格林公式,设则有因为所以例3求，其中为由点到点的上半圆周.解在轴作连接点与点的辅助线,它与上半圆周便构成封闭的半圆形于是根据格林公式由于的方程为所以综上所述,得第9章无穷级数1、掌握正项级数的判别法（1）比较判别法若，则收敛收敛发散
5、发散比较法的极限形式：时，若收敛收敛时，与有相同的敛散性时，若发散发散常用的比较级数：（1）几何级数（2）—级数（3）调和级数发散（2）比值判别法（适用于中含），发散设，，方法失效，收敛（3）根值判别法（适用于中含有以为指数幂的因子），发散设，，方法失效，收敛例1判别级数的收敛性.解运用比较判别法.因而是收敛的,所以原级数收敛.例2判定下列级数的敛散性:(1)(2)解因故根据极限判别法,知所给级数收敛.因为根据极限判别法,知所给级数收敛.例3判别级数的敛散性.解选取级数作比较.由可得因级数收敛,所以原级数也收敛.例4判别级
6、数的敛散性.解令由于从而由级数的收敛推知本题所给级数也收敛例5判别下列级数的收敛性：(1)；(2).(3)解故级数收敛.故级数发散.比值判别法失效,改用比较判别法,因为而级数收敛,所以收敛.例6判别级数的散敛性.解一般项含有次方,故可采用根值判别法.因为故所求级数收敛.2、交错级数的判别法（莱布尼茨判别法）若交错级数满足条件：（1）；（2）则交错级数收敛，且其和例7判断的收敛性.解由于所以是交错级数.令有即时，是递减数列,又利用洛必达法则有则由莱布尼茨定理知该级数收敛.3、会求幂级数的收敛域及其和函数例8求幂级数的收敛域及
7、和函数.解所以收敛半径当时，级数成为该级数收敛;当时，级数成为该级数发散.从而所求收敛域为设其和函数为即显然且由积分公式得因题设级数在时收敛，所以例9求幂级数的和函数.解因为，故题设级数的收敛半径R=1，易见当时，题设级数发散，所以题设级数的收敛域为设则在上式两端求导，得所求和函数4、会把函数展开成幂级数（间接法）例10将函数展开成x的幂级数.解当时，级数收敛;当时，级数收敛.且当时，函数连续，所以例10将函数展开成的幂级数.解而所以第10章微分方程1、掌握一阶非齐次线性微分方程的通解公式并用于求解；例1求方程的通解.2、
8、会求二阶常系数齐次线性微分方程的特征根并写出通解重点掌握前两种情况.例2求方程的通解.解所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为例3求方程的通解.解特征方程为解得故所求通解为3、二阶常系数非齐次线性方程只要求出它对应的齐次方程的通解，并能写出其特解的形式重点掌握时，其特解的形式例4
