高等代数第三章,第四章

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1、3.证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可由线性表出.证由题设，可以找到不全为零的数使，显然.事实上，若，而不全为零，使成立，这与线性无关的假设矛盾，即证.故，即向量可由线性表出。4.，证明：如果，那么线性无关。证设有线性关系，代入分量，可得方程组由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。5.设是互不相同的数，.证明：是线性无关的。证设有线性关系，则，1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即，所以方程组有惟一的零解，这就是说线性无关。2）当时，令则由上面1)的证明可知是线性无关

2、的。而是延长的向量，所以也线性无关。6.设线性无关，证明也线性无关。证设由线性关系，则。再由题设知线性无关，所以，解得，所以线性无关。7.已知的秩为，证明：中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设是中任意个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。事实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意性，即证。8.设的秩为，是中的个向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：是的一个极大线性无关组。证由题设知与等价，所以的秩与的秩相等，且等于.又因为线性无关

3、，故而是的一个极大线性无关组。9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的。进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得

4、到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。10.设向量组为，，，，。证明：线性无关。把扩充成一极大线性无关组。证1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。2）因为，且由，可解得，所以线性无关。再令，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。注此题也可将排成的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。12.证明：如

5、果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。证由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩。13.设是一组维向量，已知单位向量可被它们线性表出，证明：线性无关。证设的秩为，而的秩为。由题设及上题结果知，从而，故线性无关。14.设是一组维向量，证明：线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出。证必要性.设线性无关，但是个维向量必线性相关，于是对任意维向量，它必可由线性表出。充分性任意维向量可由线性表出，特别单位向量

6、可由线性表出，于是由上题结果，即证线性无关。15.证明：方程组对任何都有解的充分必要条件是系数行列式。证充分性.由克拉默来姆法则即证。下证必要性.记，则原方程组可表示为，由题设知，任意向量都可由线性表出，因此由上题结果可知线性无关。进而，下述线性关系，仅有惟一零解，故必须有，即证。16.已知与有相同的秩，证明：与等价。证由于与有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样的极大线性无关组也必为的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。17.设，

7、证明：与具有相同的秩。证只要证明两向量组等价即可.由题设，知可由线性表出。现在把这些等式统统加起来，可得，于是，即证也可由线性表出，从而向量组与等价。23.设证明：此方程组有解的充分必要条件为，在有解的情形，求出它的一般解。证对方程组的增广矩阵作行初等变换，有此时的秩为4，的秩为4的充分必要条件是，因此，原方程组有解的充分必要条件是。其次，当时，原方程组与方程组与，同解，所以它的一般解为，其中为任意常数。24.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方

8、程组的一个基础解系，且与它等价，则可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解。又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解也都可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系。25.设齐次方程组，的系数矩阵的秩为，证明：方程组的任意个线性无关的解