高数(上)期中试题

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1、《高等数学》（上）期中考试题及评分标准1．（6分）已知为偶函数，判断的奇偶性。解：令，于是（4分）（5分）为奇函数。（6分）2．求极限（每小题4分，共12分）（1）解：原式=（2分）=（4分）（2）解：原式=（1分）（2分）=（3分）=（4分）（3）(1分）、=（2分）=（3分）=（4分）3．（8分）当时，判断下列各式哪些是无穷小，并指出其中是否有等价无穷小（写出判断过程）。（1）（2）（3）解:（2分）（4分）（6分）时，（1），（2）两式是无穷小，（3）不是无穷小。又时，~，~(1),(2)是等价无穷小。（8分）4．（6分）求函数的间断点，并判断间断点的类型。解：时，无意义，所

2、以是间断点3分）（4分）（5分）是跳跃间断点。（6分）5．（6分）设，求。（4分）（5分）（6分）6．（7分）求方程所确定的隐函数的一阶导数。解：方程两边对求导数，得（3分）即（4分）（6分）（7分）7．（7分）求曲线在处的切线和法线方程。解：（2分）（3分）时，（4分）切线方程：法线方程：（7分）8．（6分）求参数方程所确定的函数的二阶导数。解：（1分）（2分）（3分）（4分）(6分）9．（7分）讨论函数在处是否可导，并求导函数。解：（2分）（4分）在处不可导（5分）（7分）10．（6分）求曲线在处的曲率。解：（1分）（3分）(5分）（6分）11．（6分）求函数的阶麦克劳林公式。

3、解：……………（2分）于是，……………（3分）（5分）其中（6分）12．（8分）求的单调区间、凹凸区间和极值。解：得（1分）得（2分）单增极大单减拐点单减极小单增极大值极小值（4分）单增区间，单减区间（6分）凸区间凹区间（8分）13．（8分）欲制造一个体积为的圆柱形无盖小桶，已知底面每平方单位造价是侧面每平方单位造价的2倍，问圆柱形底面半径与高之比为多少时，造价最省？解：设圆柱形桶底面半径为，高为，则（1分）设侧面每平方单位的造价为，则总造价为（4分）（5分）由得（6分）于是所以时造价最省。（8分）14．（7分）设在上连续，在内可导，且，试证：在内至少有一实根。证：令，则在上连续，

4、在内可导，且，由介值定理知，存在使得（4分）在上，显然满足洛尔定理的条件，于是存在使得即所以在内至少有一实根。（7分）